经济数学基础作业4(电大)

经济数学基础作业4

（一）填空题 1.函数f(x)

4 x

1

的定义域为___________________

ln(x 1)

4 x 0

解：要使f(x)有意义，则要求 x 1 0，

x 1 1

x 4

解不等式组得： x 1，

x 2

因此，定义域为(1,2) (2,4]。

2. 函数y 3(x 1)2的驻点是________，极值点是，它是极. 解：y 3 2(x 1)(x 1) =6(x 1)

令y 0得：x 1

p2

y 6 0

因此，所求驻点是x 1，

极值点是x 1，它是极小值点。

3.设某商品的需求函数为q(p) 10e

，则需求弹性Ep .

p2

p

解：有弹性公式E

p q

q

p10e

p2

(10e) =

p10e

p2

10e

p2

1p ( ) 。

22

x1 x2 0

4.若线性方程组 有非零解，则 =

x x 02 1 1 1 1 1

解：系数矩阵A 1 0 1

当方程有非零解，则r(A) 2（未知量个数）， 则 1。

16 11

，则t__________325. 设线性方程组AX b，且A 0 1 00t 10

一解.

时，方程组有唯

解：要使线性方程组AX b有唯一解，则要求r(A) r(A) n（方程未知量个数）， 因此，当t 1时，r(A) r(A) 3，方程组有唯一解。

（二）单项选择题

1. 下列函数在指定区间( , )上单调增加的是（

）．

A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x

解：函数sinx ， e x ， x 2均为基本初等函数，由它们的性质知： 函数e x在区间( , )上是单调增加。 该题正确答案为：B． 2. 设f(x)

1

，则f(f(x)) （ ） x112

A． B．2 C．x D．x

xx

解：因为f(x)

111

，则f(f(x)) f() x，

1

xx该题正确答案为：C．

3. 下列积分计算正确的是（ ）．

x x

1e eex e x

dx 0 B． dx 0 A． 1 122

1

C．

1-1

xsinxdx 0 D． (x2 x3)dx 0

-1

1

a

解：注意到：定积分

a

f(x)dx，

a aa

（1）当f(x)为奇函数时，则

f(x)dx 0；

a0

（2）当f(x)为偶函数时，则

a

f(x)dx 2 f(x)dx。

ex e xe x e ( x)e x ex

答案A中设f(x) ，f( x) = f(x)，

222

ex e x

dx 0， 因此， 12

1

该题正确答案为：A．

4. 设线性方程组Am nX b有无穷多解的充分必要条件是（ ）．

A．r(A) r(A) m B．r(A) n C．m n D．r(A) r(A) n 解：该题正确答案为：D．

x1 x2 a1

5. 设线性方程组

x2 x3 a2，则方程组有解的充分必要条件是（ x1

2x2 x3 a

3A．a1 a2 a3 0 B．a1 a2 a3 0

C．a1 a2 a3 0 D． a1 a2 a3 0

110a1 110

a1 解：A 011a 2 121a 011a 2

3 011a3 a1 110a1

011a 2

000a3 a1 a2

方程组有解的充分必要条件是：r(A) r(A)， 即a3 a1 a2 0，即a1 a2 a3 0， 该题正确答案为：C． 三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y ex y

解：原方程变形为：e ydy exdx

方程两边积分得： e ydy

ex

dx

e

y

ex c即为方程通解 .

（2）dyxex

dx 3y

2

解：原方程变形为：3y2dy xex

dx

方程两边积分得： 3y2dy

xex

dx

． ）

3xxxxx

y xde xe edx xe e c

y3 xex ex c即为方程通解 . 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y

2

y x3 x

p(x)dxp(x)dx

解：由一阶线性微分方程通解公式：y e (q(x)e dx c)

得原方程通解： y e

=e

2lnx

2

( )dx

x

( x3e

( x)dx

2

dx c)

( x3e 2lnxdx c)

3

=x(x

2

2

1

dx c) x2

x2

=x( c)

2

（2）y

y

2xsin2x x

p(x)dxp(x)dx

解：由一阶线性微分方程通解公式：y e (q(x)e dx c)

得原方程通解： y e =e

1

( )dx

x

( 2xsin2xe

( x)dx

1

dx c)

lnx

( 2xsin2xe lnxdx c)

=x(2sin2xdx c) =x( cos2x c) 3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y e

2x y

,y(0) 0

y

2x

解：原方程变形为：edy edx

y2x

方程两边积分得：edy edx

12x

e c即为方程通解 2

1100

将y(0) 0代人通解得：e e c则c

22

12x1y

因此，原方程特解为：e e

22

e

y

(2)xy y e 0,y(1) 0

x

yex

解：原方程变形为：y

xx

p(x)dxp(x)dx

由一阶线性微分方程通解公式：y e (q(x)e dx c)

1

1

得方程通解：y e

xdx

( ex xdx

x

edx c) =e

lnx

( exx

elnx

dx c) 1ex =x( x xdx c) 1x

(ex

c)

将y(1) 0代人通解得：0 1

1

(e c)，则c e 原方程特解为：y

1x

(ex

e) 4.求解下列线性方程组的一般解：

x1

2x3 x4 0（1）

x1 x2 3x3 2x4 0

2x1

x2 5x3 3x4 0

解： A 102 1 11 32 102 1 1001 11 01 2 15 3 0 11 1 00所以，方程的一般解为

x1 2x3 x4

（其中 xx1,x2是自由未知量） 2 x3 x4

2x1 x2 x3 x4 1（2）

x1 2x2 x3 4x4 2

x1

7x2 4x3 11x4 5

2 1111 解：A 12 142 12 142 2 1111

17 4115

17 4115 12 142 2 0 53 7 3 12 14

0 53 7 3

05 373

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