《信号与系统》第四版习题解答
时间:2025-04-02
时间:2025-04-02
1-2 解
1-3 解 各系统响应与输入的关系可分别表示为
uR(t) R iR(t) uL(t) L
diL(t)dt
uC(t)
1C
t
iC( )d
1-8 解 因为f( t ) y(t) 1 e t,由线性关系,则
2f(t) 2y(t) 2(1 e)
t
由线性系统的微分特性,有f (t) y (t) e t
故响应 2f(t) f (t) y(t) 2(1 e t) e t 2 e t 2-1 解 由图示,有
iL
uCR C
duCdt
又
iL
(u L
1
t
S
uC)dt
故
1L
(uS uC)
uCR CuC
从而得
(t) uC
1RC
(t) uC
1LC
uC(t)
1LC
uS(t)
2-3 解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。 2-5 解 (1) t ( t 1 ) = ( t 1 ) (2) (3)
t (t 1)dt
(t 1)dt 1
0
cos( t
π3
) (t)dt
0
cos(
π3
) (t)dt
12
(4)
0
0e
3t
( t)dt
t)dt
0
3t
0e
(
0
0 (t)dt 1
2-7 解 由图(a)有
Ldidt
uS(t) Ri
即
diRdt Li
1LuS(t)
当uS( t ) = ( t ),则冲激响应
Rh(t) i(t)
1t
Le
L (t)
则电压冲激响应
Rh(t) uiL(t) L
ddt
(t)
Rt
Le
L (t)
对于图(b)RC电路,有方程
CduCdt iS
uCR
即
u 1RC
u1C
C
C
iS
当iS = ( t )时,则
th(t) u
RC
C(t)
1Ce
(t)
同时,电流
tiCC C
dudt
(t)
1RC
e
RC
(t)
2-8 解 因方程的特征根 = 3,故有
x1(t) e
3t
(t)
当h( t ) = ( t )时,则冲激响应
h(t) x1(t) [ (t) (t)] (t) 2e
3t
(t)
阶跃响应
s(t)
t
h( )d
13
(1 2e
3t
) (t)
2-9 解 (a) 由 ( t )的特点,故
( t ) * 2 = 2
(b) 按定义
( t + 3 ) * ( t 5 ) =
(
3) (t 5)d
考虑到 < 3时, ( + 3 ) = 0; > t 5时, ( t 5 ) = 0,故
( t + 3 ) * ( t 5 ) =
t 5
3
d t 2,t 2
1
也可以利用迟延性质计算该卷积。因为
( t ) * ( t ) = t ( t ) f1( t t1 ) * f2( t t2 ) = f( t t1 t2 )
故对本题,有
( t + 3 ) * ( t 5 ) = ( t + 3 5 ) ( t + 3 5 ) = ( t 2 ) ( t 2 )
两种方法结果一致。
(c) te t ( t ) * ( t ) = [te t ( t )] = ( e t te t ) ( t ) 2-10解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t ),即
f1( t ) = 2 ( t ) 2 ( t 1 ) f2( t ) = ( t ) ( t 2 )
故
f1( t ) * f2( t ) = [2 ( t ) 2 ( t 1 )] * [ ( t ) ( t 2 )]
因为
( t ) * ( t ) = t
1d
= t ( t )
故有
f1( t ) * f2( t ) = 2t ( t ) 2( t 1 ) ( t 1 ) 2( t 2 ) ( t 2 ) + 2( t 3 ) ( t 3 )
读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。
(b)根据 ( t )的特点,则
f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[ ( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 )]
= f1( t ) + f1( t 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见图p2-10(b)所示。
3-1 解 对于周期锯齿波信号,在周期( 0,T )内可表示为
f(t)
ATt
系数
a110
T
T
f(t)dt
T
T
At0
T
dt
A2
2
2T
2AT
an
T
f(t)cosn 1tdt
T
2
t cosn 1tdt
T
2A tsinn
1t
T2
0
n 1
bAn
2T
T
f(t)sinn 2A1tdt
T
2
T
t sinn 1tdt
T
2A tcos
n 1t T2
A
n 1
nπ
所以三角级数为
A
f(t)
A2
n 1
nπ
sinn 1t
3-2解:该信号周期T 2,故 2 1
T
,在一个周期内可得: F0
Ae
jn t
dt
1
1
jn t
n
1
2
1
2
0
Ae
dt
Ajn
Aj2n
(e
jn
e
jn
)A
A
A
2A
cosn (1 cosn )
jnn 1, 3, jn jn jn
0
n 2, 4,
因为f(t)为奇函数,故F0 0,从而有指数形式:
f(t)
2A,n 1, 3,
n
jn
jn t
题3-2图
3-3解 对方波信号,其带宽为 f 1
Hz,
当 1 = 1ms时,则
f1
1
11
0.001
1000Hz
当 2 = 0.2ms时,则
f1
2
12
0.0002
5000Hz
3-6 证 因为
(A(
1
t
t
f( t ) =
),3
0,| t | > 则
F( ) 2 A(1
t
)cos tdt
2A
4A
2
(1 cos ) sin(
2
2
2
2
)
A Sa(
)
2
3-9解 (1)因为
Acos( 0t) Aπ[ ( 0) ( 0)]
(t) π ( ) 1j
所以由时域卷积定理
F( ) Aπ[ ( 10) ( 0)] [π ( )
j ]
Aπj
[ ( 0) ( 0)]
(2)因为
Asin( 0t) jAπ[ ( 0) ( 0)]
(t) π ( ) 1j
由频域卷积定理
F( )
1 2π jAπ[ ( ) ( 1
0 0
)] [π ( ) j ]
jAπ
[ ( 0A20) ( 0)] 2 2 05-1 解 (1) F(s)
(2 e t
)e
st
dt 21s 0
(2) F(s)
1
s s 1
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