信息光学数学基础知识

§1.2 d -Function一、定义定义1.

x) 0, x 0 d ( d ( x)dx 1 -

定义2. 基于函数系列的极限若存在函数系列满足 : : lim f ( x) 0, x 0 n n f ( x)dx 1 - n 则 lim f n ( x) d ( x)

可描述: n 单位质量的质点的密度, 单位电量的点电荷的电荷密度, fn(x)可以是Nrect(Nx), 单位光通量的点光源的发光度, Nsinc(Nx), NGaus(Nx), 单位能量的无限窄电脉冲的瞬时功 二维圆域函数等等. 率等. 物理系统已无法分 辨更窄的函数

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定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则 d ( x) 0, x 0 d ( x)f ( x)dx f (0) -

f(x)称为检验函数. d -函数的图示:1 0

d ( x)x

d (x,y)0

1

yx

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二、性质1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可证) 设f(x)在x0点连续, 则 f ( x)d ( x x )dx f ( x ) 0 0

通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.1 2. 缩放性质 scaling d (ax) d ( x) a 证明思路:二者对检验函数在 积分中的作用相同. 推论: d (x)是偶函数

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3. 乘积性质 设f (x)在x0点连续, 则: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0) 任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数

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三、 d -函数 的阵列--梳状函数 comb(x)定义:

comb( x)

n

d ( x n)

n为整数

表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列. 例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.

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梳状函数与普通函数的乘积:1 x

f ( x) comb( ) f ( x) d ( x n )

n

n

f (n )d ( x - n )

利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样. f ( x) 0 x comb(x)

.

0

x =

0

x y x

二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y)

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§1.3 卷积 convolution一、概念的引入物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)f(x) x f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)

成像

f(x 2)h(x-x 2)

x1 0

x2

x

x

像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果. 需用卷积运算来描述

g ( x)

f (x )h( x x )dx

f ( x ) h( x )

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二、定义若f(x)与h(x)有界且可积, 定义

g ( x ) f ( x ) h( x )

f (x )h( x x )dx

*: 卷积符号

g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积. g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第 一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x- x).需要对任 何可能的x求和. 二维函数的卷积:

g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)

f (x , )h( x x , y )dx d

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三、性质 1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x) 2. 卷积满足分配律 Distributive Property [v(x) + w(x)] * h(x) = v(x)* h (x) + w(x )* f (x) 3.卷积满足结合律 Associative Property

[v(x) * w(x)]*h(x) = [v(x) * h(x)] *w(x)= v(x)*[w(

x)* h(x)]

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4. 卷积的位移不变性 Shift invariance 若f(x)*h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0) 5. 卷积的缩放性质 Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 则

x x x f h b g b b b

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五、包含脉冲函数的卷积根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:f ( x) d ( x) f (x )d ( x x )dx f ( x)

即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置.

=

*

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§1.4 相关 correlation信息处理中的重要运算一、互相关 cross correlation考虑两个复函数f(x)与g(x), 定义：

rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * (x ) g ( x x )dx (1)

为函数f(x)与g(x)的互相关函数. 作变量替换x+x =x ’, 则

rfg ( x) f ( x)★g ( x) f * (x ' x) g (x ' )dx ' (2)

(1) 和 (2)两个定义式是完全等价的.

互相关是两个函数间存在相似性的量度.

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与卷积的关系由(2)式易见：

rfg ( x) f * (x x) g (x )dx g ( x) f * ( x)

(3)

1. 当且仅当f*(-x)=f(x) [f(x)是厄米的], 相关才和卷积相同. 一 般情况下,相关运算与卷积是不同的运算. 2. 互相关不满足交换律 rfg(x)=f(x) ★g(x) ≠ g(x) ★ f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.

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二、自相关 auto-correlation当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为

rff ( x) f ( x)★f ( x) f (x ) f * (x x)dx

或:

rff ( x) f ( x)★f ( x) f (x ' x) f * (x ' )dx '