课 题：两角和与差的正弦、余弦、正切（4）

教学目的：

通过例题的讲解，使学生对两角和差公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技教学重点： 进行角的变换，灵活应用基本公式 教学难点： 进行角的变换，灵活应用基本公式 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1．两角和与差的正、余弦公式

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin

sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos tan( )

tan tan tan 1 tan tan tan( ) tan

1 tan tan

二、讲解范例：

例1 化简cosx sinx 解：原式=2(

32cosx 12sinx) 2(sin

3cosx cos3sinx) 23

x) 或解：原式=2(cos

6cosx sin6sinx) 26

x)

例2 已知x

5

0,2

，求函数y 12 x) 12

x)的值域

解： y 5 12 x) 12 x) 2

3 x)

∵x 0,

2

∴ 6 3 x 3

∴ 3 x) 1 2,1

∴函数y的值域是 2 ,2 2

例3 已知 5

cos2x4 x) 13 ，0 x 4 求的值

4

x)

解：∵ 4 x) 513 cos 2 (4 x)

4 x) 513

即： 5

4 x) 13

7

∵0 x

4

∴

4

x

4

2

从而si( 12

4 x) 13

而cos2x cos

( 4 x) 4 x)

125125120

13 13 13 13 169

120

∴cos2x 16924 5

13 4 x)

13

例4 已知sin(2 ) 2sin 0 求证tan =3tan( + ) 证：由题设：sin[(

) ] 2sin[ ( )] sin(

)cos cos( )sin 2sin cos( ) 2cos sin( ) ∴3sin(

)cos sin cos( ) ∴tan =3tan( + )

例5 已知

2

3 4，cos( ) 123

13，sin( ) 5

， 求sin2 的值 解：∵cos( )

12

313 0 2

4 ∴0

4

∴sin( )

5

13

∴

3

2

又sin( ) 35 ∴cos( ) 4

5

∴sin2 =sin[(

) ( )] sin( )cos( ) c0s( )sin( ) =

3125 13 45 513 5665

例6证明A＋B＋Ｃ＝nπ(n∈Ｚ)的充要条件是tanA＋tanB＋tanＣ＝tanA·tanB·tan证明：(先证充分性)

tan(A B C)

tan(A B) tanC1 tan(A B)tanC

tanA tanB

tanC

1 tan(A B)tanC

tanA tanB tanC tanAtanBtanC(1 tanAtanB)[1 tan(A B)tanC] 0 A B C n （n∈Z）

(再证必要性)

7

即

由A＋B＋Ｃ＝nπ即A＋B＝nπ－Ｃ 得tan（A＋B）＝－tanＣ

tanA＋tanB＋tanＣ＝tan（A＋B）（1－tanAtanB）＋tanＣ ＝－tanＣ（1－tanAtanB）＋tanＣ ＝tanAtanBtan说明：本题可考虑证明A＋B＝nπ－Ｃ（n∈Ｚ)的充要条件是tanA＋tanB＋tanＣ＝tanA·tanB·tanＣ例7求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1 证明：左端＝

(tan20 tan40 ) tan40 tan20 3

3

tan60 (1 tan20 tan40 ) tan40 tan20

3

1 tan20 tan40 tan40 tan20 1 右端

说明：可在△ABC中证明tan

A2

tan

B2

tan

B2

tan

C2

tan

C2

tan

A2

例8已知A、B为锐角，证明A B

4

的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝证明：(先证充分性)

由(1＋tanA）（1＋tanB）＝2即1＋（tanA＋tanB）＋tanA·tanB＝2 得tan（A＋B）［1－tanAtanB］＝1－tanA·tanB ∴tan（A＋B）＝1

又0＜A＋B＜π ∴A＋B＝(再证必要性) 由A B

4

4

得

tanA tanB

1.

1 tanAtanB

整理得（1＋tanA）（1＋tanB）＝说明：可类似地证明以下命题：

3

，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2； 45

(2)若α＋β＝，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；

47

(3)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝4

(1)若α＋β＝

三、课堂练习：

) 3,tan( ) 2,求tan2 ,tan2 的值． 1 已知tan(

7

分析：若用公式（T ）将已知等式展开，只能得到tan tan 与tan tan 的等量关系，要得到探求结论十分困难．我们来观察一下角的特征， 2 ( ) ( ),2 ( ) ( )，

于是就可以正确的解法．

归纳：将角作适当的变换，配出有关角，便于沟通条件与结论之间的联系，这是三角恒等变换中常用的方法之一，这种变换角的方法通常叫配角法．例如2 配成( ) ,又如 配成( )－ 或者( ) ．

) 1,tan 2,求tan 的值． 2 已知tan(

3 不查表求值：tan15 tan30 tan15tan30．

) 分析： 要善于把公式变形后使用，从公式tan(

式：

tan tan

中可得变形公

1 tan tan

tan tan tan( )(1 tan tan )，这会使解题更具灵活性．

tan15 tan30 tan45 (1 tan15 tan30 ) 1 tan15 tan30 ．

∴原式＝１．

四、小结 两角和与差的正切及余切公式, 解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能． 五、课后作业：

已知函数y 2x x 2的图象与x轴交点为(tan ,0)、(tan ,0)，

2

求证：cos( ) 4sin( )．

证明:∵函数y 2x x 2的图象与x轴交点为(tan ,0)、(tan ,0)

∴tan +tan =

2

1

tan tan =－1 2

) ∴tan(

1tan tan

＝

1 tan tan 4

∴cos( ) 4sin( )．

求证：tan10 tan50 3tan10tan50

证明:∵tan10 tan50 tan60(1 tan10tan50)

7

tan10tan50

∴tan10 tan50 3tan10tan50 3

求证：tg70 tg25 tg70 tg25 1

证明:∵tan70 tan25 tan45 (1 tan70 tan25 ) 1 tan70tan25

∴tg70 tg25 tg70 tg25 1

六、板书设计（略） 七、课后记：

1求值：（1）

2cos10 sin20 sin75 cos75

;(2).

sin70 sin75 cos75

解：(1)原式

2cos10 sin20

cos20

2cos(30 20 ) sin20

cos20

cos20 sin20 sin20 3

cos20

tan75 1tan75 tan45

（2）原式tan75 1tan75 tan45 1

tan120 tan60 3

说明：在三角函数关系式的变形过程中，要注意统一角、统一函数，要注意角与角之间2已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，求tan（α＋β

解：由3sinβ＝sin（2α＋β）即3sin［（α＋β）－α］＝［sin(α＋β)＋α］ 得：3sin（α＋β）cosα－3cos（α＋β）sinα ＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα ∴2sin（α＋β）cosα＝4cos（α＋β）sinα ∴tan（α＋β）＝2tanα

又tanα＝1 ∴tan（α＋β）＝2

说明：本题解法的关键是要注意到β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α3已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β∈

（－

,)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)22

7

解：根据韦达定理

tan tan 4a

tan tan 3a 1

tan( )

tan tan 4a4

1 tan tan 3a

3

sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( ) sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( )sin2( ) cos2( )

16 tan2( ) tan( ) 2 4 2

46tan2

( ) 1

16 25.9 1 tan( )

tan tan 4a4

1 tan tan 3a

3

sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( )sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2

( )sin2( ) cos2( )

164 tan2

( ) tan( ) 2 2tan2

( ) 1

16 4625.9 1tan( )

tan tan 4a1 tan tan 3a

4

3

sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( )

sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( )sin2( ) cos2( )

16 tan2( ) tan( ) 2 4 2

tan2

( ) 1

16 4625.9 1tan( )

tan tan 1 tan tan 4a 3a

4

3

sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( )

sin2( ) sin( )cos( ) 2cos2( )

sin2( ) cos2( )

7

164 2

tan2( ) tan( ) 29346 . 2

1625tan( ) 1

19

4求sin18°和cos36解：∵sin36°＝cos54°

即sin（2×18°）＝cos（3×18°） 2sin18°cos18°＝4cos318°－3cos18° ∵cos18°≠0

∴2sin18°＝4cos218°－3

整理得4sin218°＋2sin18°－1＝0

sin18

5 1 1

(sin18 0舍去)44

1

cos36 cos(2 18 ) 1 2sin218

4

说明：本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于sin18°的方程求解，但利用sin54°＝cos36°很难解出sin18

7