第1章函数极限与连续 §1.2 极限的概念

发布时间：2024-11-17

高等数学第1章函数极限与连续

1.2 极限的概念

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1.2 极限的概念

§1.2 极限的概念一、数列极限的定义 1、概念的引入 (1)割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽目录目录

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正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2

正 6 2 n 1 形的面积 An

A1 , A2 , A3 , , An ,

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(2)截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和为 X2 2 ; 2 2

1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2目录上一页下一页退出

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2、数列极限的定义

定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数

x1 , x 2 , , x n ,

(1)

称为无穷数列, 简称数列. 其中的每个数称为数列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .例如

2,4,8, ,2 n , ;1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2

{2 } 1 { n} 2目录目录上一页上一页下一页下一页退退出出

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1, 1,1, , ( 1) n 1 , ;

{( 1)

n 1

}

1 4 n ( 1) n 1 2, , , , , ; 2 3 n

n ( 1) n 1 { } n

3, 3 3 , , 3 3 3 ,

注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .

x 2 x4

2.数列是整标函数 xn f ( n).目录目录上一页上一页下一页下一页退退出出

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( 1)n 1 观察数列{1 } 当 n 时的变化趋势. n

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问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:

( 1)n 1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.

xn 1 ( 1)

n 1

1 1 n n目录目录上一页上一页下一页下一页退退出出

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1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000

只要 n 1000时,

有 xn 1 , 1000

1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000

给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.

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定义

如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么

小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列

x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为

lim x n a , 或 x n a ( n ). n

如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式xn a 刻划了 xn与a的无限接近程度 ;

2.N 是用来刻划n充分大的程度. 3.N 与任意给定的正数有关,且不唯一.

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“ N ”定义:

lim xn a

0, N N + , 使n N 时, 恒有 xn a .几何解释:

a x2 x1 x N 1

a x N 2 x3

当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.目录目录上一页上一页下一页下一页退退出出

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注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.

n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n

1 1 任给 0, 要 xn 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时,n ( 1) n 1 就有 1 n

n ( 1) n 1 即 lim 1. n n目录目录上一页上一页下一页下一页退退出出

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例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .n

证任给 0 , 对于一切自然数n ,

xn C C C 0 成立,

xn C . 所以, lim n 说明:常数列的极限等于同一常数.

小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0,寻找N,但不必要求最小的N.目录目录上一页上一页下一页下一页退退出出

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q 0, 其中 q 1. 例3 证明 lim n nn 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n

若0 q 1, xn 0 q n , n ln q ln ,ln n , ln qln 取N [ ], 则当n N时, ln q lim q n 0.n

就有 q n 0 ,

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例4 设x n 0, 且 lim x n a 0,n

求证 lim x n a .n

xn a, 证任给

0, lim n

N N +使得当n N时恒有 xn a 1 ,从而有 x n a xn a xn a 1 xn a a a

故 lim x n a .n 目录目录上一页上一页下一页下一页退退出出

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例5

n 1 证明 lim . n 2 n 1 2 1 n

1 证: x n 2

欲使 xn 1 ,21 因此,取 N 1 ,

1 只要 n 即

则当 n > N 时, 就有

n 1 故 lim . n 2n 1 2目录上一页下一页退出

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