复变函数与积分变换

（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）

——课后习题答案

习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

1

8 0i 1 8

e iπ/4;

3 5i13

;(2 i)(4 3i); . 7i 1i1 i

4

4

∴Re, 1Im 0．

∵

3

④解：

i π π ①解e π cos isin

1

3

3

1 2

3

1 8

2

i

3

3 5i 1 7i 1613

②解： 3 5i i

7i 1

1+7i1 7i2525

1

8 0i 1 8

③解： 2 i 4 3i 8 3 4i 6i 5 10i 3 1 i 3513

= i i ④解：

i1 i222

, ∴Re． Im 1 0

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)

k

1, n 2k

k ． ⑤解： ∵in k

n 2k 1 1 i,

z a (a z3; 1 ; 1 ;in. z

a 2 2

① 则

：∵设z=x+iy

33

∴当n 2k时，Re in 1 k，Im in 0； 当

k

n 2k 1时，

n

R e i

，0

Im in 1 ．

3.求下列复数的模和共轭复数

x a iy z a x iy a x a iy x a iy 22

z ax iy ax a iy x a y

∴

222

z a x a yRe 2

z a x a y2

2 i; 3;(2 i)(3 2i);

,

①解： 2 i

2 i 2 i

3 3

1 i

.

2

2xy z a

Im ． 22

z a x a y

②解： 3 3

②解： 设z=x+iy ∵

z3 x iy x iy x iy x2 y2 2xyi x iy

3

2

222

x x2 y2 2xy2 yx y 2xy i

③解： 2 i

3 2i 2 i3 2i

2 i3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i

x3 3xy2 3x2y y3 i

④解：

1 i i 22

∴

Re z3 x3 3xy2

,

Im z3 3x2y y3．

1 i 1 i1 i

222

③解：

∵

3

1 8

4、证明：当且仅当z z时，z才是实数．

3

1

1 3

1 8

3

1

2

2

3

证明：若z z，设z x iy，

则有 x iy x iy，从而有 2y i 0，即y=0

∴z=x为实数．

若z=x，x∈ ，则z x x． ∴z z． 命题成立．

①解：

3 5i 3 5i 1 7i

7i 11 7i1

7i

38 16i19 8ii 8

e其中 π arctan． 502519

②解：i ei 其中

i e

iπ

2

5、设z,w∈C，证明： z w≤z w

证明∵z w z w z w z w z w

2

π

． 2

③解： 1 eiπ eπi

2

④解： 8π1 16π π.

3

z z z w w z w w

z zw z w w z w

≤

22

2

2

2Re z w

2

∴ 8π1 16π e

3

2 πi3

z w 2z w

2

2

2

2π2π

isin ⑤解： cos99

z w 2z w z w

2

2π2π

解：∵ cos isin 1．

99

i π.3i2π2π

isin 1 e9 e3 ∴ cos99

3

2

2π

3

∴z w≤z w．

8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)

的平方根.

⑴i的三次根． 解：

2

6、设z,w∈C，证明下列不等式．

z w z 2Rez w w z w z 2Rez w w

2

2

2

2

2

2

z w z w 2z w

22

22

并给出最后一个等式的几何解释．

证明：z w z 2Rez w w在上面第五题的证明已经证明了．

下面证z w z 2Rez w w．

∵z w z w z w z w z w

z z w w z w

2

2

2

2

2

2

2

ππ 3 cos isin cos

22

1

2kπ

ππ

2kπ

isin33

k 0,1,2

2

∴

z1 cos

ππ1

isin i662

．

551

z2 cosπ isinπ i

662991

i z3 cosπ isinπ 662

⑵-1的三次根 解：

2

z 2Rez w w．从而得证．

2

2

2

∴z w z w 2z w

22

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

3 5i2π2π

;i; 1; 8π(1); cos isin . 7i 199

3

cosπ isinπ 3 cos

1

2kπ+π2kπ π

isin33

k 0,1,2

∴z1 cosπ isinπ 1

3

3

2

z2 cosπ isinπ 1

551

z3 cosπ isinπ 332的平方根．

π

4

e

是α-β=90°．

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

(1)argz π;(2)z 1 z;(3)1 z i| 2;(4)Rez Imz;

k 0,1

∴

e

1π2i4

ππ

2kπ 2kπ 6 cos isin 22

14

(5)Imz 1且z 2.

解：

(1)

、argz=π．表示负实轴．

iππ

∴z1 6 cos isin 64 e8

88

1

4

1π

πi99

z2 6 cosπ isinπ 64 e8．

88

1

4

19

9.设z e

i

2πn

,n 2. 证明：1 z zn 1 0

i 2πn

证明：∵z e

∴zn 1，即zn 1 0．

(2)、|z-1|=|z|．表示直线z

=

1． 2

∴ z 1 1 z zn 1 0 从而1 z z2+ zn 1 0

又∵n≥2． ∴z≠1

11.设 是圆周{z:z c r},r 0,a c rei .令

, z a L z:Im 0

b

其中b e.求出L 在a切于圆周 的关于

的充分必要条件.

解：如图所示．

(3)、1<|z+i|<2 解：表示以-i为圆心，以

1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

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