几何题的一些相关知识点,与习题

“动态”立体几何题

本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。

一、截面问题

截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得的结果也具有一定的可变性。

例1、用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（ D ） A 六边形 B 菱形 C 梯形 D 直角三角形 例2、已知正三棱柱A1B1C1—ABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成α角的截面△MNC,(0<

2

),使MN//AB，求截面的面积。

分析：由于截面位置的不同，它与几何体的交线MN可能在侧面A1B上，也可能在A1B1C1上，由此得到两种不同的结果。

解：当交线MN在侧面A1B内（或与A1B1重合时），S△MNC=

S

；当MN在底面A1B1C1

cos

h2cos

内时，arctan。 , S△MNC=2223sin 3S

h

B

C1

B

C1

N

B

C

二、翻折、展开问题

B

C

图形的翻折和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对关系和数量关系则发生变化。不变量可结全原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。

例3、下图表示一个正方体的展开图，图中AB、CD、EF、GH这四条直线在原正方体中相互异面的有（ B ）

A 2对 B 3对 C 4对 D 5对

例4、从三棱锥P—ABC的顶点沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开，成平面图形，得到△P1P2P3，

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且P1P2=P2P3；

H

C

A

P3

P1

2

（1）在棱锥P-ABC中，求证：PA⊥BC，（2）P1P2=26，P1P3=20，求三棱锥的体积。 分析：（1）由展开的过程可知，A、B、C分别是边P1P3、P1P2、P2P3的中点，故AB=AC =

1

P2P3， 2

1

P1P2，∴AB=AC。又P1P2=P2P3，∴在原图中取BC中点H，连AH、PH，可证AH⊥BC，2

PH⊥BC，∴BC⊥面PAH，即得PA⊥BC。

（2）由（1）知BC⊥面PAH，，在立体图中可知，PB=PC=AB=AC=13,BC=10,PH=HA=12, S△PAH=5,∴V=

150

. S△PAH·BC=

33

三、最值问题

立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化成目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值。

例5、（2002年全国高考）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，（0<a<2）. （Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小； 分析：（1）MN的长随着M、N的移动而变化，若能建立适当的函数关系，转化成函数问题，便可利用函数知识求解。

略解：(1)过点M作MO⊥AB交AB于O，连ON，由题可得BC=1，AM=2-a，AC=2,∵MO//BC，∴

MOAMAO

BCACAB

2 a2

，

E

∴MO=

2 a2

,又

FN2 aAO

，∴ON//AF，同理求得

FBAB2

A

ON=

a2

∴在R t△MNO中，

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2 a c221

()2 (a MN= ) 。

222 2

（2）由（1）得当a=

2

22

时，MNmin=。 22

四、探索型问题

由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不可确定，探索型问题正好通过

这种“动态性”和不确定性考查学生的发散性思维。

例8、已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M，N分别是AB、PC的中点，（1）求证MN

P⊥AB；（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能

否确定θ，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由。

分析：（1）取CD中点H，可证AB垂直平面MNH，故AB⊥MN；

（2）由题可得二面角θ即∠PDA，随着θ的变化，

A

MN与AB的垂直关系不变，但与PC所成的角将随着变化。设MN⊥PC，连PM、MC，∵N是中点，∴PM=MC ，又∵AM=MB， ∠PAM=∠CBM=900，∴△PAM≌△CMB，∴

PA=CB，即PA=AD，此时θ=450。可见只要当θ=450时，MNC

H

即为异面直线AB与PC的公垂线。

例9、如图，△ABC是正三角形，AD和CE都⊥平面ABC，且AD=AB=1，CE=1/2，问：能否在线段BD上找到一点F，使AF⊥平面BDE？

分析：由于点F的移动，使AF与平面BDE的位置关系随之变化，若AF⊥平面BDE，则AF⊥BD，又∵DA=AB，∴F为BD中点，这使我们想到BD的中点即为所求。

解：取BD中点F，AB中点G，连EF、CG、FG，则四D

边形EFGC为矩形，∴CGFG，又△ABC为正三角形，∴CG⊥AB，∴CG⊥面ABD，CG⊥AF，∴EF⊥AF，∴AF⊥面EBDE成立。

五、其它类型

C利用三垂线定理、射影定理、线线、线面垂直的性质等

在动态问题中提炼一些不变的、“静态”的量，从而达到解题

A

的目的。

例10、在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，

则直线PQ与直线AM所成的角等于（ D ）

A 300 B 450 C 600 D 900

分析：虽然点P的具体位置不定，但PQ在平面A1C上的射影是一条定直线A1H，在正方形ACC1A1中AM⊥A1H，故由三垂线定理得BQ⊥AM。

例11、正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界运动，并且总保持AP⊥BD1，

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则动点P的轨迹是 。

B1

C1

DC1

AM

C

C

A

分析：点P是在正方体的右侧面这样的一个区域中运动，这使两条线段BD1与AP的位置关系比较复杂，但BD1是正方体的体对角线，它在各个侧面上的射影与这个侧面的另一条对角线互相垂直，故由三垂线定理可证得BD1⊥平面AB1C，因此当点P在线段B1C上运动时，由线面垂直的性质得BD1⊥AP恒成立，即线段P的轨迹是线段B1C。

例12、在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中，若G、E分

D1 E C1

别是BB1、C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心。则四边形BGEF在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值

A1 B1 是 。

分析：可得四边形BGEF在前后侧面上的射影相等且等于

F

11

；在左右侧面上的射影相等且等于；在上下底面的射影相等B

Q

48

且等于

33

，所以射影图形面积的最大值为。 88

A B

八年级数学竞赛辅导之正方形

1．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和8，图中阴影部分的面积为___________。

16

59

331

2

5

4

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第7题2．如图,16×9的矩形分成四块后可拼成一个正方形,该正方形的周长为_________.

3．如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间坚排若干个，则k的值为（ ）。 （A）6 （B）8 （C）10 （D）12

4．如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别为BC、CD上的动点，且满足△CMN的周长为2，则∠MAN＝_______度.

5．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

3

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AF

M

D

N

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A． B． C．3 D7．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值为( )

1232

A． B． C． D．

2322

8．如图，在四边形ABCD

中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，SABCD=8，则BE的长为( )

A．2 B．3 C．3 D．22

9．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．

B

E

C

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=42，则BC边的长为 ．

11．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则 △CDE的面积等于 cm2．

12．如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，则线段CE的长为 13．如图，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )

A．65° B． 60° C ．35° D．70°

A

D

E

B

F

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ABAB

D

EC

D

EC

第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14．如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，若SEFGH=则b a等于( ) A．

2

，3

232 B． C． D．

3322

15．如图，在正方形ABCD中，CE GF．若CE 10cm，则GF= ．

16．若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．

17．如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．求证：DE EF FB． A D

B

F

C

G

18．已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点，求证：∠DCE＝2∠BCF.

EF

D

BC

19．如图，正方形ABCD中，E、F为BC、CD上两点，且∠EAF=45°，①求证：EF=BE+DF. ②以上命题的逆命题是否成立？③若AB=12，求△CEF周长.④若AB=12，EF=10，求△AEF面积.⑤求△ADF面积.

D

F

CE

A

20．如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.

B

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DE

21．如图，ABCD是正方形，AB=1，∠AOx＝30°，求点B坐标

.

A

AEF 90 ，22．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

D D A A D A

F

图1

G

F

图2

G

图3

G

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23．如图，分别以△ABC的三边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACMN，直线OP⊥AB，①求证：OP平分FM；②以上命题的逆命题成立吗？为什么？

P

N

A

O

G

DE

24．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

D D

图② 图③ 图①

25．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．

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