全国初中数学竞赛_1998~2010

1998年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a、b、c都是实数，并且a b c，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）ab bc（Ｂ）a b b c（Ｃ）a b b c（Ｄ）

ac bc

2、如果方程x2 px 1 0 p 0 的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）

（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知abc 0，并且

a bc

b ca

c ab

p，那么直线y px p一定通过第（ ）

象限

（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组

9x a 0 8x b 0

的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的

有序数对（a、b）共有（ ）

（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线y 2x 3与抛物线y x相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax 3a 8a x 2a 13a 15 0（其中a是非负整数），至少有一个整数

2

2

2

2

2

根，那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

全国初中数学竞赛_1998~2010

三、解答题：（每小题20分，共60分）

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=90，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。

12、设抛物线y x2 2a 1 x 2a

54

A

的图象与x轴

B

F

C

只有一个交点，（1）求a的值；（2）求a18 323a 6的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

解 答

1．根据不等式性质，选B．．

2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由

(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，

全国初中数学竞赛_1998~2010

3．如图3－271，连ED，则

又因为DE是△ABC两边中点连线，所以

故选C．

4．由条件得

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．

当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．

线通过第二、三、四象限．

y=-x-1，则直

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，

如图3－272．

的可以区间，

全国初中数学竞赛_1998~2010

+1，3×8＋2，3×8＋3， 3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．

6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所

7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以

全国初中数学竞赛_1998~2010

8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为

当圆环为50个时，链长为

9．因为a≠0，解得

故a可取1，3或5．

全国初中数学竞赛_1998~2010

10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，

A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，

所以

11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为

∠ABE＋∠AEB=90°，

∠CED＋∠AEB=90°，

所以 ∠ABE=∠CED．

于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以

又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以

全国初中数学竞赛_1998~2010

所以

解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为

∠ABE＋∠AEB＝90°，

∠FEH+∠AEB=90°，

所以 ∠ABE=∠FEH，

于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为

所以

全国初中数学竞赛_1998~2010

12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

有两个相等的实根，于是

(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得

a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，

a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，

a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169

＝987a＋610，

a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610

=2584a＋1597．

又

全国初中数学竞赛_1998~2010

因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即

(8a+5)(8a-13)=-1．

所以

a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．

13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是

W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)

=-800x＋17200．

W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．

由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．

(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是

W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)

=-500x-300y+17200．

全国初中数学竞赛_1998~2010

W=-500x-300y+17200，

且

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18＋17200=9800．

当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又

W=-200x-300(x＋y)＋17200

≤-200×0-300×10+17200=14200，

当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．

1999年全国初中数学竞赛试卷

全国初中数学竞赛_1998~2010

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B， C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（ ）． A．11 B．12 C．13 D．14

2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）． A．60元 B．66元 C．75元 D．78元 3．已知

，那么代数式

的值为（ ）．

A． B．－ C．－ D．

4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（ ）． A．30 B．36 C．72 D．125

5．如果抛物线

的面积的最小值是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4

6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满

分30分）

与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC

7．已知为 ．

，那么

x2 + y2

的值

8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是 （0＜x＜10）．

全国初中数学竞赛_1998~2010

9．已知ab≠0，a + ab－2b = 0，那么的值为 ．

10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是

11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是 ．

2

2

12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两 台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台．

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13．设实数s，t分别满足19s + 99s + 1 = 0，t + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求值．

2

2

的

全国初中数学竞赛_1998~2010

14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC

和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：

（1）（10分）证明：可以得到22； （2）（10分）证明：可以得到2

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D

100

．

97

+ 2－2．

二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6

三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：

又∵st≠1，

．

∴，t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有 ． 即st + 1 =－99s，t = 19s． ∴

．

全国初中数学竞赛_1998~2010

14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．

∵AB=BD，O是圆心，

∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°， ∴BH∥CD． 从而△OPB∽△CPD．

∴CD=1．

于是AD= 又OH= AB= BC=

所以，四边形ABCD的周长为

15．证明： （1）

．

也可以倒过来考虑：

．

（或者 （

．）

CD=

，于是

， ．

．

．

，

2）

．

或倒过来考虑：

全国初中数学竞赛_1998~2010

．

注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题（只有一个结论正确）

全国初中数学竞赛_1998~2010

1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P的大小关系是（ ）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

a b c

3

a b2

N c2

a b 2c

2

a b 2c

12

答：（B）。∵M＝，N＝，P＝

，M－P＝，

∵a＞b＞c，∴

a b 2c

12

＞

c c 2c

12

0

，即M－P＞0，即M＞P。

2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）。

答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。