全国初中数学竞赛_1998~2010_(附解答)

全国初中数学竞赛_1998~2010

1998年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a、b、c都是实数，并且a b c，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）ab bc（Ｂ）a b b c（Ｃ）a b b c（Ｄ）

ac bc

2、如果方程x2 px 1 0 p 0 的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）

（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知abc 0，并且

a bc

b ca

c ab

p，那么直线y px p一定通过第（ ）

象限

（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组

9x a 0 8x b 0

的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的

有序数对（a、b）共有（ ）

（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线y 2x 3与抛物线y x相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。

9、已知方程ax 3a 8a x 2a 13a 15 0（其中a是非负整数），至少有一个整数

2

2

2

2

2

根，那么a=___________。

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。

全国初中数学竞赛_1998~2010

三、解答题：（每小题20分，共60分）

11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=90，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。

12、设抛物线y x2 2a 1 x 2a

54

A

的图象与x轴

B

F

C

只有一个交点，（1）求a的值；（2）求a18 323a 6的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

解 答

1．根据不等式性质，选B．．

2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由

(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，

全国初中数学竞赛_1998~2010

3．如图3－271，连ED，则

又因为DE是△ABC两边中点连线，所以

故选C．

4．由条件得

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．

当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．

线通过第二、三、四象限．

y=-x-1，则直

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，

如图3－272．

的可以区间，

全国初中数学竞赛_1998~2010

+1，3×8＋2，3×8＋3， 3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．

6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所

7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以

全国初中数学竞赛_1998~2010

8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为

当圆环为50个时，链长为

9．因为a≠0，解得

故a可取1，3或5．

全国初中数学竞赛_1998~2010

10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，

A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，

所以

11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为

∠ABE＋∠AEB=90°，

∠CED＋∠AEB=90°，

所以 ∠ABE=∠CED．

于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以

又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以

全国初中数学竞赛_1998~2010

所以

解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为

∠ABE＋∠AEB＝90°，

∠FEH+∠AEB=90°，

所以 ∠ABE=∠FEH，

于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为

所以

全国初中数学竞赛_1998~2010

12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

有两个相等的实根，于是

(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得

a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，

a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，

a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169

＝987a＋610，

a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610

=2584a＋1597．

又

全国初中数学竞赛_1998~2010 …… 此处隐藏：3481字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……