专题集训3 规律探究问题

一、选择题

1．一列单项式：－x2，3x3，－5x4，7x5，…，按此规律排列，则第7个单项式为( D )

A．9x7B．－9x7C．13x8D．－13x8

【解析】奇数项为负，偶数项为正；第n项中x的指数为n＋1；第n项系数为2n－1(不考虑符号)．由此可得第7项为－13x8.

2．观察下列图形，它是把一个三角形分别连结这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形(如图1)；对剩下的三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去(如图2，图3……)，则图6中挖去三角形的个数为( C )

A．121 B．362 C．364 D．729

【解析】①图1，0×3＋1＝1；②图2，1×3＋1＝4；③图3，4×3＋1＝13；④图4，13×3＋1＝40，⑤图5，40×3＋1＝121；⑥图6，121×3＋1＝364.故选C.

3．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在( D )

A．第504个正方形的左下角

B．第504个正方形的右下角

C．第505个正方形的左上角

D．第505个正方形的右下角

【解析】∵2016÷4＝504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D.

二、填空题

4．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为__8__，第2017个图形的周长为__6053__．

【解析】∵第1个图形的周长为2＋3＝5，第2个图形的周长为2＋3×2＝8，第3个图形的周长为2＋3×3＝11，…，第2017个图形的周长为2＋3×2017＝6053.

5．如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个

数为a1，第2幅图形中“”的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，…，以此类推，则1

a1

＋

1

a2

＋

1

a3

＋…

＋1

a19

的值为__

589

840

__．

【解析】a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n(n＋2)；∴

1

a1

＋

1

a2

＋

1

a3

＋…

＋

1

a19

＝

1

1×3

＋

1

2×4

＋

1

3×5

＋

1

4×6

＋…＋

1

19×21

＝

1

2

(1－

1

3

＋

1

2

－

1

4

＋

1

3

－

1

5

＋

1

4

－

1

6

＋…＋

1

19

－

1

21

)＝

1

2

(1＋

1

2

－

1

20

－1

21

)＝

589

840

.

三、解答题

6．现有一组有规律排列的数：1，－1，2，－2，3，－3，1，－1，2，－2，3，－3，……

其中，1，－1，2，－2，3，－3这六个数按此规律重复出现．问：

(1)第50个数是什么数？

(2)把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？

(3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？

解：(1)∵50÷6＝8……2，∴第50个数是－1(2)∵2015÷6＝335……5，1＋(－1)＋2＋(－2)＋3＝3，∴从第1个数开始的前2015个数的和是3(3)∵12＋(－1)2＋(2)2＋(－2)2＋(3)2＋(－3)2＝12，520÷12＝43……4且12＋(－1)2＋(2)2＝4∴43×6＋3＝261，即共有261个数的平方相加

7．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N ＝0，L＝4.

(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L；

(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．

解：(1)观察图形，可得S ＝3，N ＝1，L ＝6

(2)根据格点三角形ABC 及格点四边形DEFG 中的S ，N ，L 的值可得，⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝1，1＋6a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，∴S ＝N ＋12L －1，将N ＝82，L ＝38代入可得S ＝82＋12×38－1＝100