研究生数值计算方法期末考试题

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一、 单项选择题（每小题2分，共10分）

1、2ln =0.69314718…，用0.69314作为2ln 的近似值，它有（ ）位有效数字。

A ．3

B ． 4

C ． 5

D ．6

2、用二分法求解非线性方程012

=--x x 的正根，在初始区间是[0，2]的情况下，若要求误差小于0.05，那么需要二分（ ）次即可满足要求。

A ．３

B ．４

C ．５

D ．６

３、线性多步法的一般公式

∑∑=-=--++=r k r k k n k k n k n y b h y a y 01'1

中，若（ ）成立时，则该公式是隐式公式。

A ． 01=-b

B ．01≠-b

C ．00=a

D ．00≠a

４、已知n =3时，科特斯系数8

3=83=81=323130)()()

(,,C C C ，那么)(33C ＝（ ）。 Ａ． 21 Ｂ．１ Ｃ．81 Ｄ．０ ５、用选主元的方法解线性方程组A =，是为了（ ）。

A ． 提高计算速度

B ．减少舍入误差

C ． 减少相对误差

D ．减少计算量

二、 填空题（每小题3分，共18分）

1、设)0(1)(≠+=n nx x f n ，则],...,,[10n x x x f ＝ 。

2、设矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=2011A ，则矩阵A 的2-范数是 。 3、数值积分的龙贝格算法（公式）是通过对 公式的修正得到的。

4、若)(x s 是],[b a 上的分段m 次多项式，且 ，则称)(x s 是],[b a 上的m 次样条函数。

5、设3)(3-=x x f ，则其牛顿法求根的迭代公式为 。

6、设矩阵A 的特征值均可大体估计，且满足n n λλλλ>≥≥>-121 ，现用反幂法求n λ，为加速迭代采用原点平移策略，即B=A-pE ，则参数p 的最佳选择为 。

三、计算题（每小题10分，共40分）

1、某矩形场地的长、宽分别为20m 和10m ，假设其绝对误差界均为0.2m ，求该矩形场地的周长及面积的相对误差界。

2、设 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=461561552621A ，对其进行LU 分解。

第 2 页 共 2 页 3、讨论线性方程组⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111211121112的高斯－赛德尔迭代法的收敛性。 4、设有向量T x )3,4,5(=→，试构造平面旋转阵P(2,3)，使得→x P(2,3)的第3个分量为0，试构造初等反射阵H ，使T x H )0,0,*(=→。

四、综合应用题（20分）

设1)(3-=x x f ，讨论问题区间为[0 1],权函数为常数1。解答以下问题。

1、求区间[0 1]上的正交多项式簇：c bx x x a x x ++=+==2210)(,)(,1)0(ϕϕϕ；

2、以）

（x 2ϕ的两个零点10,x x 作为求积节点，构造高斯求积公式 )()()(111

000x f A x f A dx x f +=⎰

并说明该求积公式有几次代数精度。

3、以)(),(),0(210x x ϕϕϕ对)(x f 在区间[0 1]上进行最小均方二次逼近，写出法方程、求出最小均方二次逼近多项式C Bx Ax x s ++=2)(。

五、证明题（选作2题，每小题6分，共12分）

1、设有方程组b Ax =，其中系数矩阵对称正定，试证当松驰因子ω满足

ββ

ω(20<<为A 的最大特征值）时，下述迭代法收敛： ),2,1,0()()()()1( =-+=+k Ax b x x k k k ω

2、求1)(+=n x x f 关于节点n x x x ,,,10 的拉格朗日插值多项式)(x L n 及插值余项

)(x R n ，并证明

n n i n i n i x x x l x

1001)1()0(-=∑=+

其中，)(x l i 为关于节点n x x x ,,,10 的拉格朗日插值基函数。

3、用形如

)()(11011--++++=i i i i i f b f b h y y a y

的线性两步法求解常微分方程的初值问题，试确定其中的参数，使方法的阶尽可能的高，并求其局部截断误差主项。其中),(i i i y x f f =。