苏教版_高中数学必修五教学案
时间：2025-07-11
§1.1 正弦定理
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
一、课前准备
试验：固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动．
思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学 ※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义， abc
有 sinA， sinB，又sinC 1 ， ccc
abc
从而在直角三角形ABC中，．
sinAsinBsinC
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
ab
有CD=asinB bsinA，则，
sinAsinB
cb
同理可得，
sinCsinBabc从而．
sinAsinBsinC
类似可推出，当 ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
abc
．
sinAsinBsinC 试试：
（1）在 ABC中，一定成立的等式是（ ）． A．asinA bsinB B.acosA bcosB C. asinB bsinA D.acosB bcosA
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a ksinA， ，c ksinC；
abcbcac
（2）等价于 ，，．
sinAsinBsinCsinCsinBsinAsinC（3）正弦定理的基本作用为：
bsinA
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a ；b
sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
a
如sinA sinB；sinC ．
b
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在 ABC中，已知A 45 ，B 60 ，a 42cm，解三角形．
变式：在 ABC中，已知B 45 ，C 60 ，a 12cm，解三角形．
例2.
在 ABC中，c A 45 ,a 2,求b和B,C．
变式
：在 ABC中，bB 60 ,c 1,求a和A,C．
三、总结提升 ※ 学习小结
abc
sinAsinBsinC
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角． 1. 正弦定理：
※ 知识拓展
abc
2R，其中2R为外接圆直径. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
cosAb
1. 在 ABC中，若 ，则 ABC是（ ）.
cosBa
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1
D．2∶2
3. 在△ABC中，若sinA sinB，则A与B的大小关系为（ ）. A. A B B. A B
C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定
4. 已知 ABC中，sinA:sinB:sinC 1:2:3，则a:b:c 5. 已知 ABC中， A 60
，a
a b c
= ．
sinA sinB sinC1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120 ，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．
§1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = ．
复习2：在△ABC中，已知c 10，A=45 ，C=30 ，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
二、新课导学 ※ 探究新知 问题：在 ABC中，AB、BC、
∵AC ， ∴AC AC
CA的长分别为c、a、b.
同理可得： a2 b2 c2 2bccos，A c2 a2 b2 2abcosC．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：
b2 c2 a2
，， cosA
2bc
[理解定理]
（1）若C=90 ，则cosC ，这时c2 a2 b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC
中，a c 2，B 150 ，求b．
（2）△ABC中，a
2，b
，c1，求A．
苏教版_高中数学必修五教学案.doc
将本文的Word文档下载到电脑
