数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表

求f(x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解：

（1）

插值基函数分别为

l x0(x)

x x1 x2 x x 1 x 2 1 2 16

x 1 x 2

0 x1x0 x2 1 1l 1(x)

x x0 x x2x x 1 x 2 2 1

x 1 x 2 1 x0x1 x21 11 2

l x x2(x)

0 x x1 x 1 x 1x x 1

x 1 x 1

20x2 x12 12 13

故所求二次拉格朗日插值多项式为

2

L2(x) yklk x

k 0

3

16 x 1 x 2 0 1

12 x 1 x 2 4 3 x 1 x 1

14

2 x 1 x 2 3 x 1 x 1 56x2 372x 3

（2）一阶均差、二阶均差分别为

f x0,x1 f x1,x2

f x0 f x1 x0 x1f x1 f x2 x1 x2

3 03

1 120 4

41 2

3

f x0,x1 f x1,x2 45

f x0,x1,x2

x0 x2 1 26

故所求Newton二次插值多项式为

P2 x f x0 f x0,x1 x x0 f x0,x1,x2 x x0 x x1

35

x 1 x 1 x 1 26537 x2 x 623 3

例2、 设f(x) x

解：

2

试求f(x)在[0, 1]上关于 (x) 1， span 1,x 3x 2，x [0,1]，

的最佳平方逼近多项式。

若 span 1,x ，则 0(x) 1， 1(x) x，且 (x) 1，这样，有

0, 0 1dx 1,

1

1

1, 1 x2dx

1

13

1

1

0, 1 1, 0 xdx ,

20

f, 0 x2 3x 2 dx

23

6

f, 1 x x2 3x 2 dx

1

94

所以，法方程为

1 1 2

1 1 23 23

1 a0 6 2 a0 6 2

9 ，经过消元得 a1 1 1 0 a1 1

3 12 4 3

再回代解该方程，得到a1 4，a0

11

6

*

故，所求最佳平方逼近多项式为S1(x)

x

11

4x 6

例3、 设f(x) e，x [0,1]，试求f(x)在[0, 1]上关于 (x) 1， span 1,x 的最佳

平方逼近多项式。 解：

若 span 1,x ，则 0(x) 1， 1(x) x，这样，有

1

0, 0 1dx 10 1

1, 1 x2dx

103

1

1

0, 1 1, 0 xdx

2

1

f, 0 exdx 1.71830 1

f, 1 xexdx 1

0所以，法方程为

11

2 11 a0 1.7183 1 2

a 1 3

解法方程，得到a0 0.8732，a1 1.6902， 故，所求最佳平方逼近多项式为

S1*(x) 0.8732 1.6902x

例4、 用n

4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分

1

。

解：

（1）用n 4的复合梯形公式

由于h 2，f

x xk 1 2k k 1,2,3 ，所以，有

1

T4

h

3

2[f 1 2 f xk f

9 ]k 1

2

2

2

17.2277

（2）用n 4的复合辛普森公式

由于h 2，f

x xk 1 2k k 1,2,3 ，x

k

1 2 2k k 0,1,2,3 ，所以，有

2

1

S4

3

h

6[f 1 4 f x

31 2k 0

k f2 xk f

9 ] k 1

1

3

[1 4

2

3]

17.3321

例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15

x1 x2 x3 6解：先消元

12 3315

Ab 183 1 15 1116

183 1 15 r1 r2 12 3315 1116

2

183 1 15

m21 3,第1行（ m21）第 2行 第2行

0 175 m1 31 18,第1行（ m31）第 3行 第3行

717

183

1 15 r2 r3 0766 0 175

m6

7第2行（ m行

183 1 15 32 ,32）第 3行 第3 061786 007667

再回代，得到x3 3，x2 2，x1 1

所以，线性方程组的解为x1 1，x2 2，x3 3

例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。

14x1 15x2 16x3 9

1

x11 3

1 4x2 5x3 8

1

2x1 x2 2x3 8解： 设

11

1

456 10 u13

A

11 10

u11u12

u23 345 l2110 0u 1 1 22 0

u LU 33

2

1

2 l31l32 0

则由A LU的对应元素相等，有

u111

4，u 15，u 1

12136， l141

21u11 3 l21 3，l31u11 2

l31 2，

l14 160，l11

21u12 u22 u2221u13 u23 5 u23 45

，

l 1 l13

31u12 l32u2232 36，l31u13 l32u23 u33 2 u33 15

因此，

1

1

1 100 4

56 A LU

4

10 1 3 0

145

2

60 361 13

15

1

0

y1 解Ly b，即

4

10 9

y2 8 ，得y 9，y 4，y 154 3 2 361

y 123 3 8 1

1

1

456 解Ux y，即 0 1 1 x1

9 6045 x2 4 ，得x 177.69，x 476.92， 13 x 3

32 154

00

15

所以，线性方程组的解为x1 227.08，x2 476.92，x3 177.69

x1 227.08

１、若A是n n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使

A LU唯一成立。 （ ）

２、当n 8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）

i 13、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精

确度的次数为2n 1。 （ ）

af(x)dx Aif(xi)

b

n

210 A 111

012 的２－范数A2＝９。４、矩阵（ ）

2aa0 A 0a0

00a ，则对任意实数a 0，方程组Ax b都是病态的。5、设（用

） （ ）

6、设A Rn n，Q R（ ）

n n

T

，且有QQ I（单位阵），则有A2 2。

7、区间 a,b 上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。

（ ）1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ …… 此处隐藏：7728字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……