第五章 不定积分一 原函数与不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表 四 小结

一、原函数与不定积分的概念定义5.1 设 f ( x ) 是定义在区间上的已知函数， 如果存在函数 F ( x ) 对于该区间上每一点都满足

F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x )dx 则函数 F ( x ) 是已知函数 f ( x )'

在该区间上 的一个原函数

原函数：

F '. ( x) f ( x)问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么关系?5 ' 4 ( x ) 5 x 例

例4

x x

5

1 5 x

d ( x ln x) (1 ln x)dx

5

C 5 x4

( C 为任意常数)

结论:(a, b) 上的一个原函数, 如果 F ( x)是f ( x)在区间则 F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数 . 并且 f ( x ) 的任意原函数都可表示为 F ( x ) C 例 5 x 的所有原函数4

x C5

1 ln x 的所有原函数

x ln x C

定义5.2 设 F ( x ) 是 函数 f ( x ) 在区间(a,b)上的 一个原函数 , 表达式 F ( x ) C 是f ( x ) 的

不定积分，记为 f ( x )dx

f ( x )dx F ( x ) C积 分 符 号 被 积 函 数 积 分 变 量

任 意 常 数

例：因为 ( x ) 5 x ,x 为5 x 4的一个原函数，5 ' 4

5

5x

4

dx x C5

x ln x为 1 ln x 的 例：因为 d ( x ln x) (1 ln x)dx , 一个原函数，

(1 ln x)dx x ln x C注意：只需要求一个原函数，加常数C

例5

求 函数3 x 2的不定积分3 ' 2

解 ( x ) 3 x

3 x dx x 3 C

2

总结：因为 ( x 1 )' ( 1)x

x 1 所以 x dx C 1

例

求 cos xdx'

解 (sin x ) cos x cos xdx sin x C

1 例6 求 dx x 1 解 当x 0时， ln x 1 dx ln x C x

x

( x 0)

1 1 - 1 当x 0时， x 0,[ln( x )] x x 1 dx ln( x ) C ( x 0) x

合并上面两式，可以得到1 dx ln | x | C x ( x 0)

二、不定积分的几何意义设 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，则 y F ( x) 为y=

y f ( x) 的一条积分曲线。

f ( x )dx F ( x ) C

表示一簇积分曲线。

例： 2 xdx

x C , 则y x , y x 12 2 2

是y 2 x的积分曲线， y x 2 C是y 2 x的一簇积分曲线。

例7 解

求经过点(1,3),且斜率为2x的曲线方程. 设曲线方程为 y F ( x ), 根据题意知 F '( x ) 2 x,

F ( x ) 2 xdx x C , .2

将(1,3)代入得： C 2 因此所求曲线方程： y x 22

二、不定积分的性质1: 不定积分与求导或微分的运算是互逆的.

由不定积分的定义，可知

d f ( x )dx f ( x ), d [ f ( x )dx ] f ( x )dx , dx

F ( x )dx F ( x ) C , dF ( x ) F ( x ) C .

2.

不为0的常数

因子可以提到积分符号外面.

cf ( x)dx c f ( x)dx3.

两个函数和的不定积分等于不定积分的代数和。

[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx

三、基本积分表(1)

0dx C (C 是常数 ;

)

1 x ( 2) x dx C ( 1); 1 dx ( 3) ln | x | C ; x

x a ( 4) a x dx C; ln a

( 5)

x e dx

e x C;

(6) cos xdx sin x C ; (7) sin xdx cos x C ;

例1 求 ( 2 x ) xdx 5 2 解 (2 x ) xdx (2 x x x )dx 2 xdx x dx x x 2 C 5 3 2 2

例2 求解 x5

x xdx x x dx x dx C 11 1 2 13 2 2 2 6 x C x x C 13 135

x

5

xdx1 2 11 2

11 1 2

例3 求

2 x ( 2 e ) 解 2 x e 2 x dx ( 2e 2 ) x dx C 2 ln( 2e )

x 2 x 2 e dx

2 e C ln 2 2

x

2 x