虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试

高三数学 试卷 2016.1

考生注意：

1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，

每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数f(x) 2x 1的反函数f 1(x) _________. 2．设全集U R,若集合A xx 1 1 ,则ðUA ______. 3．若复数z满足

z

i2015 i2016（i为虚数单位），则复数z

______. 1 i

1

4．在二项式)8的展开式中，常数项的值为______.（结果用数字表示）

x

5．行列式2 x)

5cosx

tanxcot( x)

的最大值为______.

6. 在等差数列 an 中，a1 a3 a5 9,a2 a4 a6 15, 则数列 an 的前10项的和等于_____.

7．如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C的 焦距为4， OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线 C的中心），则双曲线C的方程为_________________. 8.已知数据x1,x2, ,x8的方差为16，则数据2x1 1,

（第7题图）

2x2 1, ,2x8 1的标准差为.

9.已知抛物线x2 8y的弦AB的中点的纵坐标为4 ，则

AB的最大值为__________.

（第10题图）

10．如图所示，半径R 2的球O中有一内接圆柱，当

圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.

11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）

12. 设等比数列 an 的前n项和为Sn,若a1a2a3 64,且S2n 5(a1 a3 a5 a2n 1)(n N),

则an ______.

13．在由正整数构成的无穷数列 an 中，对任意的n N,都有an an 1,且对任意的k N,数

列 an 中恰有k个k，则a2016 ________.

2x a,x 1, fx 14. 若函数 恰有两个零点，则实数a的取值范围是___________.

x ax 3a,x 1

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号

上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.

15. 设 、 为两个不同平面，若直线l在平面 内，则“ ”是“l ”的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

5

16 . 已知直线x 和x 是函数f(x) sin( x )( 0,0 )图像的两条相邻的对

44称轴，则 的值为 （ ） （A）

4

（B）

3

（C）

2

（D）

17.已知a、b均为单位向量，且a b 0.若c 4a c 3b 5,则c a的取值范围是( )

（A

） 3,

（B）3,5 （C）3,4 （D

）5 3

4

x 2,x 0,

18．设函数f(x) 若关于x的方程f(x) a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,

log2x,x 0,

且x1 x2 x3 x4,则x3(x1 x2)

1

的取值范围是 ( ) 2

x3x4

（A） 3, （B） ,3 （C） 3,3 （D） 3,3

三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.

19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.

如图，在正三棱柱ABC A1B1C1 中，已知它的底面边长为10，高为20 . (1)求正三棱柱ABC A1B1C1的表面积与体积； (2)若分别是BC、

CC1的中点，求异面直线PQ与AC所

成角的大小（结果用反三角函数表示）.

20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 已知 ABC的面积为S，且 AB AC

S.

（1） 求sinA,cosA,tan2A的值；

（2） 若B

4,CA CB 6,求 ABC的面积S .

A1

C1

1

QA

C

（第19题图）

21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分. 对于函数f(x)

1

,定义f1(x) f(x),fn 1(x) f fn(x) (n N ).已知偶函数g(x)的定义域1 x

为( ,0) (0, ),g(1) 0； 当x 0,且x 1时，g(x) f2015(x). （1）求f2(x),f3(x),f4(x),并求出函数y g(x)的解析式；

(2) 若存在实数a,b(a b)使得函数g(x)在 a,b 上的值域为 mb,ma ，求实数m的取值范围.

22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分. 已知数列 an 的前n项和为Sn，且S2 0,

2Sn n nan(n N ).

（1） 计算a1,a2,a3,a4,并求数列 an 的通项公式；

(2） 若数列 bn 满足b1 3b2 5b3 (2n 1)bn 2n an 3,求证：数列 bn 是等比数列； （3）由数列 an 的项组成一个新数列 cn ：c1 a1,c2 a2 a3,

c3 a4 a5 a6 a7, ,

n

的值.cn a2n 1 a2n 1 1 a2n 1 2 a2n 1, . 设Tn为数列 cn 的前n项和，试求limTnn

4

23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.

x2y2

已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的左焦点为F, 短轴的两个端点分别为A、B,且

ab

AB 2, ABF为等边三角形 .

（第23题图）

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 如图，点M在椭圆C上且位于第一象 限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点 M 作x 轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆

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