虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试

高三数学 试卷 2016.1

考生注意：

1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，

每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数f(x) 2x 1的反函数f 1(x) _________. 2．设全集U R,若集合A xx 1 1 ,则ðUA ______. 3．若复数z满足

z

i2015 i2016（i为虚数单位），则复数z

______. 1 i

1

4．在二项式)8的展开式中，常数项的值为______.（结果用数字表示）

x

5．行列式2 x)

5cosx

tanxcot( x)

的最大值为______.

6. 在等差数列 an 中，a1 a3 a5 9,a2 a4 a6 15, 则数列 an 的前10项的和等于_____.

7．如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C的 焦距为4， OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线 C的中心），则双曲线C的方程为_________________. 8.已知数据x1,x2, ,x8的方差为16，则数据2x1 1,

（第7题图）

2x2 1, ,2x8 1的标准差为.

9.已知抛物线x2 8y的弦AB的中点的纵坐标为4 ，则

AB的最大值为__________.

（第10题图）

10．如图所示，半径R 2的球O中有一内接圆柱，当

圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.

11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）

12. 设等比数列 an 的前n项和为Sn,若a1a2a3 64,且S2n 5(a1 a3 a5 a2n 1)(n N),

则an ______.

13．在由正整数构成的无穷数列 an 中，对任意的n N,都有an an 1,且对任意的k N,数

列 an 中恰有k个k，则a2016 ________.

2x a,x 1, fx 14. 若函数 恰有两个零点，则实数a的取值范围是___________.

x ax 3a,x 1

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号

上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.

15. 设 、 为两个不同平面，若直线l在平面 内，则“ ”是“l ”的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

5

16 . 已知直线x 和x 是函数f(x) sin( x )( 0,0 )图像的两条相邻的对

44称轴，则 的值为 （ ） （A）

4

（B）

3

（C）

2

（D）

17.已知a、b均为单位向量，且a b 0.若c 4a c 3b 5,则c a的取值范围是( )

（A

） 3,

（B）3,5 （C）3,4 （D

）5 3

4

x 2,x 0,

18．设函数f(x) 若关于x的方程f(x) a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,

log2x,x 0,

且x1 x2 x3 x4,则x3(x1 x2)

1

的取值范围是 ( ) 2

x3x4

（A） 3, （B） ,3 （C） 3,3 （D） 3,3

三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.

19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.

如图，在正三棱柱ABC A1B1C1 中，已知它的底面边长为10，高为20 . (1)求正三棱柱ABC A1B1C1的表面积与体积； (2)若分别是BC、

CC1的中点，求异面直线PQ与AC所

成角的大小（结果用反三角函数表示）.

20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 已知 ABC的面积为S，且 AB AC

S.

（1） 求sinA,cosA,tan2A的值；

（2） 若B

4,CA CB 6,求 ABC的面积S .

A1

C1

1

QA

C

（第19题图）

21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分. 对于函数f(x)

1

,定义f1(x) f(x),fn 1(x) f fn(x) (n N ).已知偶函数g(x)的定义域1 x

为( ,0) (0, ),g(1) 0； 当x 0,且x 1时，g(x) f2015(x). （1）求f2(x),f3(x),f4(x),并求出函数y g(x)的解析式；

(2) 若存在实数a,b(a b)使得函数g(x)在 a,b 上的值域为 mb,ma ，求实数m的取值范围.

22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分. 已知数列 an 的前n项和为Sn，且S2 0,

2Sn n nan(n N ).

（1） 计算a1,a2,a3,a4,并求数列 an 的通项公式；

(2） 若数列 bn 满足b1 3b2 5b3 (2n 1)bn 2n an 3,求证：数列 bn 是等比数列； （3）由数列 an 的项组成一个新数列 cn ：c1 a1,c2 a2 a3,

c3 a4 a5 a6 a7, ,

n

的值.cn a2n 1 a2n 1 1 a2n 1 2 a2n 1, . 设Tn为数列 cn 的前n项和，试求limTnn

4

23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.

x2y2

已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的左焦点为F, 短轴的两个端点分别为A、B,且

ab

AB 2, ABF为等边三角形 .

（第23题图）

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 如图，点M在椭圆C上且位于第一象 限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点 M 作x 轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆

C交于另一点J，若HM HN 1，试求以线段NJ为直径的圆的方程；

2

22

（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O:x y 4相交于P、Q两

点，直线l2与椭圆C交于另一点R；求 PQR面积取最大值时，直线l1的方程.

虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 参考答案和评分标准 2016年1月

一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）

1．log2x 1(x 0) 2． 0,2 3. 2 4．28

2

5． 13 6. 80 7. x2 y 1 8． 8

3

9. 12 10． 8 11．50 12. 4n 1

91

13．63 14． ,1 2,

3 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

15. B 16. A 17. B 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）

19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.

102+3 10 20 600 cm2) ……(3分)

A1C1V正三棱柱ABC A1B1C1=S ABC AA1102 20 cm3)……(6分)

1

1

解：（1

）S正三棱柱ABC A1B1C1侧=2S ABC 3S矩形ABB1A1=2（2）连结BA1,BC1,则BC1//PQ,又AC11//AC,

Q

故 BC1A1等于异面直线PQ与AC所成角. ……(8分)

易得BC1 BA，故

1 而AC11 10

22

BC12 AC 11 BA1

cos BC1A 1

2 BC1 AC11

A

B

（第19题图）

……(12分) C于是异面直线PQ与

AC所成角的大小为arc20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 1

解：（1）由AB AC S得 c b cosA c b sinA

2

……(4分) tanA 2,于是A 0, .

2

4……(7分),cosA tan2A .3

（2）由CA CB 6得BA 6,即c 6.……(9分)

进而求得 sinA

由正弦定理，有

……(12分)bccsinB

b

sinBsinCsin(A B)6

于是S

11bc sinA 6 12. ……(14分) 2221．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分. 解：（1）因为f1(x) f(x)

f2(x) f

1

x 1 ,故 1 x

11

1 x

1

1

x 0,x 1 , x

f1(x)

x(x 0,x 1),1 (1 )

x

1

f4(x) f f3(x) (x 0,x 1),

1 x

f3(x) f f2(x)

1

(3分)

故对任意的n N,有

f3n i(x) fi(x)(i 2,3,4),

11(x 0,x 1);故当x 0,x 1时，g(x) f2015(x) 1 . xx

1

又g(1) 0,故当x 0时，g(x) 1 . x

11g(x)为偶函数，当x 0时，由 x 0,g(x) g( x) 1 1 . xx

于是f2015(x) f3 671 2(x) f2(x) 1 因此

1

g(x)

1

1

,x 0,x1

，x 0.x

1

1

. ……(6分) x

(2) 由于y g(x)的定义域为( ,0) (0, )又a b,mb ma,可知a与b同号，且m 0;进而

g(x)在 a,b 递减,且a b 0. ……(8分)函数y g(x)的图像，如图所示. 由题意，有

1

g(a) 1 ma, a

g(b) 1 1 mb, b

故a,b是方程1

……(10分)

1

mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2 x 1 0在 ,0 上有 x

两个不相等的实根，于是

1 4m 0

1

a b 0

m ……(12分) 1

ab 0 m

1

m 0.

4

综合上述，得：实数m的取值范围为 ,

1

4

0 . ……(14分)

1

(x 0)有两个不同交点，并进行求x

注：若采用数形结合，得出直线y mx与曲线y 1 解也可.

22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分. 解：（1）当n 1时，由2S1 1 a1,得a1 1; 由S2 a1 a2 0,得a2 1; 当n 3时，由2S3 3 2a3 3 3a3,得a3 3;

当n 4时，由2S4 4 2a4 10 4a4,得a4 5.

猜想：an 2n 3(n N ). ……(3分) 下面用数学归纳法证明：

① 当n 2时， a2 1,结论显然成立；

② 假设当n k 2时，ak 2k 3.由条件知2Sn nan n,故

2ak 1 2Sk 1 2Sk (k 1)ak 1 (k 1) (kak k) (k 1)ak 1 kak 1,

于是(k 1)ak 1 kak 1 k(2k 3) 1 (k 1)(2k 1),从而ak 1 2(k 1) 3.

故数列 an 的通项公式为：an 2n 3(n N). ……(6分)

另解（1）：当n 1时，由2S1 1 a1,得a1 1; 由S2 a1 a2 0,得a2 1;

当n 3时，由2S3 3 2a3 3 3a3,得a3 3.

当n 4时，由2S4 4 2a4 10 4a4,得a4 5. ……(2分) 当n 3时，由条件知2Sn nan n,故

2an 2Sn 2Sn 1 nan n (n 1)an 1 (n 1) nan (n 1)an 1 1,

于是(n 2)an (n 1)an 1 1

ana11

n 1 , ……(4分) n 1n 2n 2n 1

从而

anaaaaaa

(n n 1) (n 1 n 2) (3 2) a2

n 1n 1n 2n 2n 321故

11111111111 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

122334n 3n 2n 2n 1n 1

an 2n 3(n 3). 于是数列 an 的通项公式为：an 2n 3(n N ).……(6分)

证：（2）当n 1时， b1 2a1 3 1,当n 2时，由条件得

(2n 1)bn b1 3b2 5b3 (2n 3)bn 1 (2n 1)bn b1 3b2 5b3 (2n 3)bn 1

2n an 3 2n 1an 1 3 2n(2n 3) 2n 1(2n 5) 2n 1(2n 1)

(8分)

n 1

从而bn 2. 故数列 bn 是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)

解：（3）由题意，得

cn a2n 1 a2n 1 1 a2n 1 2 a2n 1

(2 2n 1 3) (2 2n 1 1) (2 2n 1 1) (2 2n 7) (2 2n 5)

n 1n

2n 1 (2 2 3) (2 2 5)

2

3n

4 2n 14

(12分)

故Tn c1 c2 cn

3

(4 42 4n) (22 23 2n 1)4

34(4n 1)22 (2n 1) 4n 4 2n 3 44 12 1

(14分)

nn

T11 n从而 lim lim1 4 3 1.n 4nn 2 4

……(16分)

注：在解答第（3）小题时，可直接求出Tn.

23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.

2b 2,

解：（1

）由题意，得 c b, ……(2分)

b2 c2 a2, a 2,

x2

y2 1. ……(4分) 解得 b 1, 故椭圆C的方程为4

c （2）设M(x0,y0),则由条件，知x0 0,y0 0,且N( x0, y0),H(x0,0).

从而HM (0,y0),HN ( x0, y0).

12

于是由HM HN (0,y) ( x, y) y ,及y 0,得y

000000

2x02

y02 1,求得x0

再由点M在椭圆C

上，得4

所以M),N(),H0); ……(6分) 进而求得直线NH的方程:

x 4y0.

x 4y 0,

求得J ……(8分)

由 x2

y2 1,

4

进而NJ 线段NJ的中点坐标为 153

2 (y2 . ……(10分) 50

因此以线段NJ

为直径的圆的方程为：(xll （3）当直线1的斜率不存在时，直线l2与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线1的斜率为0

时，可以求得S PQR ……(12分)

当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y kx 1(k 0),则点O到直线l

1的距离为

d

从而由几何意义，得PQ

由于l2 l1,故直线l2的方程为y

1

x 1,可求得它与椭圆C的交点R的坐标为k

8kk2 4 于是, 2AR

2 ;k 4k 4

故S PQR

1 PQ AR ……(15分)

232u32令

u 则S PQR 2 u 13u u

当且仅当u 即k 时，上式取等号. l

S 此时直线1的方程为：

故当k 时，

PQR max

y x 1.（也可写成

2y 2 0.） ……(18分)