第四节

函数的单调性与 曲线的凹凸性

函数单调性的判别法 单调区间求法 曲线凹凸性的判别法 曲线的拐点及其求法 小结 思考题 作业第三章 微分中值定理与导数的应用1

函数的单调性与曲线的凹凸性

一、单调性的判别法yy f ( x)A

yB

f ( x ) 0O

A y f ( x)

f ( x ) 0B

O a

b x

a

b x

定理1 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续, 在 (a , b)内可导. (1)如果在(a, b)内 f ( x ) 0, 那末函数y f ( x ) 在[a , b] 上单调增加; 那末函数y f ( x ) (2) 如果在(a, b)内 f ( x ) 0, 在 [a , b] 上单调减少.2

函数的单调性与曲线的凹凸性

证 x1 , x2 [a, b],且 x1 x2 ,

拉氏定理

f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )(1) 若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f

f ( x2 ) f ( x1 ), y f ( x )在[a, b]上单调增加 ;(2) 若在(a , b)内， ( x ) 0,则 f ( ) 0, f f ( x2 ) f ( x1 ), y f ( x )在[a , b]上单调减少.

注

此定理不论对于开、闭、有限或无穷 区间都正确.3

函数的单调性与曲线的凹凸性

例 讨论函数y e x x 1的单调性. 解 定义域为 ( , ).

e x 1. y

在( ,0)内, y 0,

函数在 ,0]单调减少； ( 在(0, )内, y 0,

函数在 0, )单调增加 [ .

函数的单调性与曲线的凹凸性

二、单调区间求法如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调. 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点, 可能是单调区间 的分界点.

方法 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点 划分函数 f ( x )的定义区间 然后判定区间内导数 , 的符号.5

函数的单调性与曲线的凹凸性

例 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x 3的单调区间 .

解 定义域 ( , ).f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)解方程f ( x ) 0 得, x1 1, x2 2.y2

xf ( x )f ( x)

( ,1) (1,2) ( 2, )

1

单调区间为

O

1

2

x

( ,1], [1,2], [2, ).6

函数的单调性与曲线的凹凸性

例 确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间. 解 定义域 ( , ). 2 f ( x ) 3 , ( x 0) 3 x当x 0时,导数不存在 .xf ( x )f ( x)yy 3 x2

O

x

( ,0) (0, )

单调区间为 ( ,0], [0, ).7

函数的单调性与曲线的凹凸性

注区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,

不影响区间的单调性. y x 3 , y x 0 0, 如,但在( , )上 单调增加.

yO

y x3

x

又如,y x sin x在( , ) 内可导,且y 1 c

os x 0,等号只在 x ( 2k 1) ( k 0, 1, )

(无穷多个离散点)处成立, 故 y x sin x在( , ) 内单调增加.8

函数的单调性与曲线的凹凸性

例 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x f ( x )在[0, )上连续, 且(0, )可导,f ( x ) 0,

在[0, )上单调增加 f (0) 0, ;f 当x 0时， ( x ) f (0) 0,

x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).9

函数的单调性与曲线的凹凸性

x2 证明 0 x 1, e x sin x 1 例 2 2 x x 证 设f ( x ) 1 e sin x 且f (0) 0 2 定不出符号 ( x ) x e x cos x 且f (0) 0 f

f ( x ) 1 e x sin x 00 x 1, f ( x ) 0, f ( x ) C[0,1].

f ( x )在[0,1]上单调增加 .

函数的单调性与曲线的凹凸性

x2 f ( x) 1 e x sin x 2

当0 x 1时,有f ( x ) f (0) 0.

0 x 1, f ( x ) 0, f ( x ) C[0,1]. f ( x )在[0,1]上单调增加.当0 x 1时, 有f ( x ) f (0) 0.2

x 1 e x sin x 0 2 2 x x 即 e sin x 1 211

函数的单调性与曲线的凹凸性

三、曲线凹凸性的判别法(concave and convex)1.定义 如何研究曲线的弯曲方向yBA

C

O

x12

函数的单调性与曲线的凹凸性

y

y f ( x )

y

y f ( x)

O

x1

x1 x2 2

x2 x

O

x1

图形上任意弧段 位于所张弦的下方

图形上任意弧段 位于所张弦的上方

x1 x2 2

x2 x

定义1 设f ( x ) C[a, b], 如果对(a, b)内任意两点 x1 , x2 , 恒有x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) f( ) ,f( 2 2 2 2

那末称f ( x )在(a, b)内的图形是凹 (凸) 的.13

函数的单调性与曲线的凹凸性

yy f ( x)

y

y f ( x)

O

x

O

x

定义2 曲线弧上每一点的切线 都在曲线的下(上) 方,称为凹 (凸)弧.

从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段f ( x ) 的切线斜率是单增的,即f ( x )是单增的, 而

凸弧的切线斜率是单减的,即f ( x ) 是单减的.利用二阶导数判断曲线的凹凸性14

函数的单调性与曲线的凹凸性

2. 凹凸性的判别法yy f ( x)A A

yB

y f ( x)

B

O a

b x

O a

b x

f ( x ) 递减 f ( x ) 0 f ( x ) 递增 f ( x ) 0 定理2 如果f ( x )在[a, b]上连续,在(a, b)内具有

二阶导数, 在 (a, b) 内, 若f ( x ) 0 ( 0), 则f ( x )(凸)的. 在[a, b]上的图形是凹15

函数的单调性与曲线的凹凸性

例 利用函数图形的凹凸性证明不等式: n 1 n x y n (x y ) ( x 0, y 0, x y , n 1) 2 2 证 设 f ( t ) t n (t 0)

f (t ) nt n 1 ,

(t ) n( n

1)t n 2 0 f

x 图形是凹的. 对0 t 内任意两点 …… 此处隐藏：962字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……