概率论与数理统计期末复习题一

一、填空题（每空2分，共20分）

1、设X为连续型随机变量，则P{X=1}=( ).

2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为( ). 3、若随机变量X的分布律为P{X=k}=C(2/3),k=1,2,3,4,则C=( ). 4、设X服从N（1，4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则 E（XY+1-Y）=（ ） ，D（2Y-X+1）=（ ）.

5、已知随机变量X～N(μ,σ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( );σ=( ). 6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：

2

k

且X与Y相互独立。

则A=( ),B=( ).

7、设X1,X2, ,Xn是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,x1,x2,...,xn是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( ). 二、计算题（每题12分，共48分）

1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 2、已知随机变量X

的概率密度为

其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X＜1/λ)}; (3)F(1). 3、设随机变量X的分布律为

2

A 2e x f(x)

0

x 0x 0

且Y X 2X，求(1)E(X); (2)E(Y); (3)D(X). 4、若X～N(μ,σ),求μ, σ的矩估计.

2

2

三、解答题（12分）

设某次考试的考生的成绩X服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分?

四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

ce3xy2,0 x 1,0 y 1

f(x,y)

0,其它

试求: (1) 常数C ；(2) fX(x) , fY(y) ；(3) X与Y是否相互独立？ (4) E(X),E(Y),E(XY)； (5) D(X),D(Y). 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772

t0.05(9)= 1.8331 ; t0.025(9)=2.262 ; t0.05(8) 1.8595， t0.025(8) 2.306 t0.05(36)= 1.6883 ; t0.025(36)=2.0281 ; t0.05(35) 1.6896， t0.025(35) 2.0301

概率论与数理统计期末复习试题一参考答案

一、填空题（每空2分，共20分）

1、0 ； 2、14/50 或7/25 ；3、81/130 ；4、1，17 ； 5、5，4 ；6、0.35，0.35 ；7、X(n) 二、计算题（每题12分，共48分）

1、解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则

P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25, P(B| A1)=0.9 ,P(B| A2)=0.3,P(B| A3)=0.1 所以,P(B)

P(A)P(B|A) 0.4 0.9 0.35 0.3 0.25 0.1 0.49.....6

i

i

i 1

3

(2)P(A2|B) (0.35 0.3)/0.49 0.21 12 2、解：（1）由归一性：1

f(x)dx A e xdx A e x|0 A ,所以A 1/

2

4 （2）P{ 1 X 1/ } （3）F(1)

1/

e xdx 1 1/e 0.36 8

1

e xdx 1 e 12

3、解：（1）E(X) 1 0.1 0 0.2 1 0.3 2 0.4 1 4 （2）E(X) 1 0.1 0 0.2 1 0.3 4 0.4 2

2

E(Y) E(X2 2X) E(X2) 2E(X) 2 2 4 8

（3）

D(X) E(X2) [E(X)]2 2 1 1 12

4、解：（1）E(X)=μ 令μ=X 所以μ的矩估计为 X 6

1n2（2）D(X)=E(X)-[E(X)] 又E(X)= Xi

ni 1

2

2

2

1n2 1n22

D(X)= Xi-X= (Xi X)

ni 1ni 1

2

1n

(Xi X)2 12 ni 1

所以σ的矩估计为

2

三、解答题（12分）

解：提出假设检验问题：H0: μ=70, H1 ：μ≠70,

t

X 70S/n

～t(n-1),其中n=36,x=66.5,s=15,α=0.05,tα/2(n-1)=t0.025(35)=2.03 6

|t|

|66.5 70|15/36

1.4 2.03 12

所以,接受H0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分. 四、综合题（每小题4分，共20分） 解：(1)1

1113x1131c33x23x2

ceydxdy cedx ydy c |0 y|0 (e 1) 0 0 0 0

33911

3

所以,c=9/(e-1) 4

93x233x

ydy e0e3 1(2)e3 1

当x为其它情况时，fX(x) 0当0 x 1,fX(x)

1

所以,

33x

3e,0 x 1

fX(x) e 1 2

0,其它 3y2,0 y 1fY(y) 4

0,其它

同理,

(3)因为:

33x2

3e 3y,0 x 1,0 y 1

fX(x)fY(y) e 1 f(x,y)

0,其它

所以,X与Y相互独立. 4 (4)

33x11

EX x 3dx 3xde3x

0e 1e 10

113x1

3(y e|0 e3xdx) 2

0e 1

2e3 1

3(e3 1)

1

33

EY y 3y2dx y4|1 0044

1

3

2e3 1E(XY) EX EY 4 3

4(e 1)

(5) DX EX (EX)

2

2

33x1 23x113x

EX x 3edy 3x e|0 e 2xdx

00 e 1e 1

11 32 3x13x

3e (xe| edx) 2 0 0e 1 3

2

1

2

5e3 2

9(e3 1)

5e3 2132

DX (2e 1)

9(e3 1)9(e3 1)2

e 11e 19(e3 1)2

6

3

3

DY EY2 (EY)2

EY

350322

y 3ydy y|1 0

55

333

DY ()2 4

5480

2

1

概率论与数理统计期末复习题二

一、计算题（每题10分，共70分）

1、设P（A）=1/3，P（B）=1/4，P（A∪B）=1/2.求P（AB）、P（A-B）.

2、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？ 3、已知随机变量X的密度函数为

x

p(x) 2 Ax

0

0 x 11 x 2 其它

(1)求A.（2）X的分布函数F(x).

4、若X，Y为相互独立的分别服从[0，1]上均匀分布的随机变量，试求Z X Y的分布密度函数.

5、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育.今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.

6、某单位职工每天的医疗费服从正态分布N( , )，现抽查了25天，得元，求职工每天医疗费均值 的双侧0.95置信区间. 7、设总体X的密度函数为

2

30

x 1,0 x 1

f(x)

0,other

其中 是未知参数，且 0。求 的矩估计与极大的似然估计量。 二、解答题（9分）

某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从

N( ,142)分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（ 0.05）

三、综合题（15分）

设随机变量(X,Y)具有下列概率密度

cx0 x 1,0 y x

f(x,y)

others 0

(1) 求c。（2）X与Y是否独立？为什么？（3）求fYX(yx)。 四、证明题（6分）

设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x)，p(x) p( x),证明：对任意的a 0,有

1

F( a) 1 F(a)

2

a

p(x)dx。.

附： (1) 0.84, (1.96) 0.975

t0.05(24) 1.7109,t0.025(24) 2.0639, t0.05(25) 1.7081,t0.025(25) 2.0595

概率论与数理统计期末复习试题二答案

一、计算题（每题10分，共70分）

1、解：P（AB）= P（A）+P（B）- P（A∪B）=1/12，

P（A-B）= P（A）-P（AB）=1/4 。

2、解;用A表示“从甲袋中任取一球为红球”， B表示“从乙袋中任取两球都为白球”。则P(A)

2

。由全概率公式 5

2

2C23C3211

P(B) P(A)P(BA) P()P(B) 2 2

5C65C675

3、解：（1）由

p(x)dx 1得A=1。

x 0 0

x12

ydy x0 x 1 02（2）F(x) 1x12

ydy (2 y)dy 2x x 11 x 2

12 0

x 2 1

4、解：显然(X,Y)的联合概率密度为f(x,y) 1,0 x 1,0 y 1；否则，

f(x,y) 0。先求Z的分布函数F(z) P(X Y z)

当z 0时，F(z) 0 当0 z 1时，F(z)

x y z

f(x,y)dxdy。

x y z

f(x,y)dxdy dx

zz x

z2

dy

2

当1 z 2时，F(z) 当z 2时，F(z)

x y z

f(x,y)dxdy

10

z 1

dx dy dx

z 1

11z x

z2

dy 2z 1

2

x y z

f(x,y)dxdy dx dy 1

1

所以，Z的分布密度函数

z,0 z 1

fZ(z) F (z) 2 z,1 z 2

0,其他

5、解：设X表示抽取的1600人中受过高等教育的人数，则X B(1600,0.2)，

EX 320,DX=162

304 320X 320336 320

P{0.19 1600 X 0.21 1600} P{

161612

X 320

P{ 1 1} (1) ( 1) 2 (1) 1

16

2 0.8413 1 0.6826。

6、解：由于 未知，故 的0.95双侧置信区间为

2

nn

代入数据得 170, 30,n 25,t0.025(24) 2.0639，得 的0.95双侧置信区

3030

间观测值为[170 2.0639 ,170 2.0639 ] [157.4,182.6]。

2525

7、解：设X1,X2, ,Xn是取自总体的样本。因为

[ t0.025(24)

, t0.025(24)

]

EX xf(x)dx x dx

1

1

nn

1n 令EX 解得 的矩估计为 。由 L( ) ( Xi) Xi 1 1 i 1i 1

dlnL( )nnn 。 lnXi 0，解得 的极大的似然估计为 n

d i 1

lnXi

i 1

二、解答题（9分）

解：H0: 80 H1: 80 由于 已知，用Z检验。算得Z

0

n

85 80

7 2.5 14

由表查得z0.025 1.96。由于Z z0.025所以拒绝H0，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异显著。 三、综合题（15分）

（1）由1

c2

得c 3。 dxcxdy cxdx 0 0 0

3

1

x

1

（2）X的概率密度fX(x)

1

x

3xdy 3x2,0 x 1 ，否则fX(x) 0；

3

Y的边缘概率密度fY(y) 3xdx (1 y2),0 y 1 ，否则fY(y) 0。

y2

由于f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。

1

x,0 y x

,0 x 1 （3）fYX(yx)

0,0ther

四、证明题（6分）

证： F( a)

a

p(x)dx 1

a

p(x)dx

=1

a

p( x)dx 1 p(x)dx

a

=1 F(a) 1

p(x)dx p(x)dx

a

1a

p(x)dx 2 0

概率论与数理统计期末复习题三

一、计算题（每题10分，共70分）

1、设P（A）=1/4，P（A-B）=1/8，且A、B独立。求：P（B）、P（A∪B）。

2、某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3 ：2 。甲的中奖率为0.1, 乙的中奖率为0.3 。任购1张彩票，求中奖的概率。 3、设随机变数X的分布函数为

0

F(x) Ax2

1

（1）求常数A。（2）求X的密度函数。

x 00 x 1 x 1

4、某镇年满18岁的居民中受过高等教育的10%年收入超过10万。今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中不少于11%的人年收入超过10万的概率。 5、设总体X的密度函数为

( 1)x ,0 x 1

f(x)

0,其他

其中 是未知参数，且 0。求 的矩估计与极大的似然估计量。

6、某银行要测定在业务柜台上处理每笔业务所花费的时间，假设处理每笔业务所需时间服从正态分布，现随机地抽取16笔业务，测得所需时间为

（min）。由此算出

min， 5.6min，求处理每笔业务平均所需时间的双侧0.95置信区间。

7、设随机变量X与Y独立，且X服从[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，试求Z X Y的概率密度。 二、解答题（9分）

某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从

N( ,142)分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（ 0.05）

三、综合题（15分）

设随机变量(X,Y)具有下列概率密度

c,y x,0 x 1

f(x,y)

0,其他

(1) 求c。（2）X与Y是否独立？为什么？（3）求fYX(yx)。 四、证明题（6分）

设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x) p( x),证明：对任意的a 0,有 P（ a) 2F(a) 1。 附:

4

() 0.9082, (1.96) 0.975 3

t0.05(15) 1.7531,t0.025(15) 2.1315, t0.05(16) 1.7459,t0.025(16) 2.1199

概率论与数理统计期末复习题三参考答案

一、计算题（每题10分，共70分）

1、解：由1/8=P（A-B）= P（A）-P（AB）=P（A）-P（A）P（B）得：P（B）=1/2 P（A∪B）==P（A）+P（B）-P（AB）= P（A）+P（B）-P（A）P（B）=5/8 。 2、解：设A1=“任购1张彩票，购到甲两种彩票”， A2=“任购1张彩票，购到乙两种彩票”， B=“任购1张彩票，购到中奖彩票”。则

P（A1）=3/5， P（A0）=2/5，P（B|A1）=0.1， P（B|A2）=0.3 P（B）= P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=9/50。 3、解：（1）因为F(1 0) F(1)，所以A 1

2x0 x 1

（2）X的密度函数p(x)

0其它

4、解:设X表示抽取的1600人年收入超过10万的人数，则

X B(1600,0.1)，EX 160,DX=16 9

P{X 0.11 1600} 1 P{X 176} 1 P{

X 16016

1212

4

1 () 1 0.9082 0.0918。

3

5、解：E(X)

1

x ( 1)x dx

1 1 1 2。，令 ，故的矩估计量为

1 2 2

n

n

( 1) Xi,0 Xi 1

另，似然函数L( ) i 1

0,其他

对数似然函数为

1 解得的最大似然估计量为

2

1

。 6、解：由于 未知，故 的0.95双侧置信区间为

[13 t0.025(15)

5.65.6

,13 t0.025(15)] [10.0159,15.9841] 其中t0.025(15) 2.1315由表查得。 7、解：显然(X,Y)的联合概率密度为

e y,0 x 1,y 0f(x,y)

0,其他

先求Z的分布函数F(z) P(X Y z) 当z 0时，F(z) 0 当0 z 1时，F(z)

x y z

f(x,y)dxdy。

z

z x

x y z

f(x,y)dxdy dx

01

z x

e ydy z 1 e z

当z 1时，F(z)

x y z

f(x,y)dxdy dx

e ydy 1 e z(e 1)

所以，Z的分布密度函数

二、解答题（9分）

解：H0: 80 H1: 80 由于 已知，用Z检验。算得Z

0

n

85 80

7 2.5 14

由表查得z0.025 1.96。由于Z z0.025所以拒绝H0，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异显著。 三、综合题（15分）

解：（1）由1

1

dx cdy c 2xdx c得c 1。

x

x1

（2）X的概率密度为fX(x)

f(x,y)dy dx 2x,0 x 1，

x

x

2x,0 x 1故fX(x) 。Y的概率密度fY(y) f(x,y)dx

0,其他

当0 y 1时fY(y)

1

y

dx 1 y 1 y

当 1 y 0时fY(y) 故Y的概率密度：fY(y)

1

y

dx 1 y 1 y

1 y,y 1

。

0,其他

由于f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。

1

f(x,y) ,y x 1

（3）fYX(yx) 2x

fX(y) 0,其他

四、证明题（6分） 证明：P( a

1

2[F(a) ] 2F(a) 1 p(x)dx 2p(x)dx a 0

2

a

a

概率论与数理统计期末复习题四

一、计算题（共66分）

1、（8分）设事件A与B互不相容，且P(A) p,P(B) q，求下列事件的概率：

P(AB),P(A B),P(A),P()。

2、（9分）某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3 ：2。甲的中奖率为0.1， 乙的中奖率为0.3 。任购1张彩票，求中奖的概率。

3、（10分）设随机变量X的分布函数为

0

F(x) Ax2

1

x 00 x 1 x 1

（1）求常数A。（2）求X的密度函数。 4、（12分）设随机向量(X,Y)具有下列概率密度

c,y x,0 x 1

f(x,y)

他 0,其

(1) 求c。（2）X与Y是否独立？为什么？（3）求fYX(yx)。 5、（11分）设总体X的密度函数为

x 1,0 x 1

f(x)

0,other

其中 是未知参数，且 0。求 的矩估计与极大似然估计量。

6、（8分）设X1,X2,X3,X4是取自总体X的样本。X的概率密度为

2e 2xx 0

f(x)

x 0 0

写出X1,X2,X3,X4联合概率密度f(x1,x2,x3,x4)。

7、（8分）设随机变量X与Y独立，且X服从[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，试求Z X Y的概率密度。

二、应用题（共34分）

1、（9分）某商店负责供应某地区10000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概率为0.8，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以97.5%的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。

2、（8分）若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10，试用切比雪夫不等式估计及格率至少为多少？

3、（8分）某厂生产的灯泡寿命（小时）近似服从正态分布N(8000, 1600), 抽取16个灯泡的样本。求平均寿命小于7975小时概率。

4、（9分）已知维尼纶纤度在正常条件下服从N(1.405,0.048)。某日抽取5根维尼纶，计算得样本均值与样本方差分别为 1.414,s 0.03112。问这一天纤度总体标准差是否正常？（ 0.05）

附: (1.96) 0.975， (2.5) 0.9938 0.025(4) 11.1, 0.975(4) 0.484

2

2

2

2

概率论与数理统计期末复习题四参考答案

一、计算题(共66分)

1、（8

分）A与B互不相容，所以P(AB) P( ) 0，

；

由

于

P(A B) P(A) P(B) p q；由于A与B互不相容，这时A A，从而P(A) P(A) p

A B

，从而

P() P(A B) 1 P(A B) 1 (p q)。

2、（9分）设A1=“购到甲种彩票”， A2=“购到乙两种彩票”， B=“购到中奖彩票”。则P（A1）=3/5， P（A0）=2/5，P（B|A1）=0.1， P（B|A2）=0.3。

P（B）= P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=9/50。 3、（10分）（1）因为F(1 0) F(1)，所以A 1 （2）X的密度函数p(x) F (x)

4、（12分） （1）由1

1

x

1

2x0 x 1

0其它

dx cdy c 2xdx c得c 1。

x

（2）X的概率密度为fX(x)

f(x,y)dy dx 2x,0 x 1，

x

x

2x,0 x 1

故fX(x) 。Y的概率密度fY(y) f(x,y)dx

0,其他

当0 y 1时fY(y)

1

y

dx 1 y 1 y

当 1 y 0时fY(y)

1

y

dx 1 y 1 y

1 yy 1

故Y的概率密度fY(y) 。

0,其他

由于f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立。

1

f(x,y) ,y x 1

（3）fYX(yx) 2x

fX(y) 0,其他

1 1 1

5、（11分）E(X) x ( 1)xdx ，令

，故

0 2 2

n

n ( 1)X,0 Xi 11 2 i 。另，似然函数L( ) i 1

1 0,其他

对数似然函数为

的矩估计量为

1 解得的最大似然估计量为

1

。

6、（8分）联合概率密度

2 xi

i 1

,xi 0,i 1,2,3,4 f(x1,x2,x3,x4) f(x1)f(x2)f(x3)f(x4) 16e

0,otuhre

7、（8分）显然(X,Y)的联合概率密度为 e y,0 x 1,y 0

f(x,y)

0,其他

先求Z的分布函数F(z) P(X Y z) f(x,y)dxdy。

x y z

4

当z 0时，F(z) 0 当0 z 1时，F(z) 当z 1时，F(z)

x y z

f(x,y)dxdy dx

01

z x

zz x

e ydy z 1 e z

x y z

f(x,y)dxdy dx

e ydy 1 e z(e 1)

所以，Z的分布密度函数

0,z 0 f(z) F(z) 1 e z,0 z 1

(e 1)e z,z 1

二、应用题(共34分)

1、（8分）设应预备n件，并设X表示某地区10000人需要件数，则X~B（10000，0.8），则由中心极限定理得P{X n} 则

n 8000

0.975 40

n 8000

。 1.96,n 8078.4（件）

40

2、（8分）用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X) = 80，方差D(X) = 100，所

以P{60 X 100} P{60 < X < 100}= P{|X – 80| < 20} 1

100

0.75 400

所以及格率至少为75%。

3、（8分）设灯泡寿命总体为X，因为X～N(8000，1600), n=16，所以样本均值

~N(8000,100)

，

7975 8000 P{ 7975} 1 (2.5) 0.0062。

10

4、（9分）解 H0: 0.048. H1: 0.048

计算

2

2

2

(n 1)S2

2

0

(5 1) 0.031122 13.5 2

0.048

2

2

查表得 0.025(4) 11.1, 0.975(4) 0.484。由于 0.025(4)，所以拒绝H0，即认为这一天纤度总体标准差与0.048有显著差异。