电路原理

第十四章 14. 1 14. 2 14. 3 14. 4

线性动态电路的复频域分析

BUCT

拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯反变换的部分分式展开 运算电路

14. 5 应用拉氏变换法分析线性电路

电路原理

14. 1

是求解高阶复杂动态电 拉普拉斯变换的定义 路的有效方法 BUCT

拉氏变换法(积分变换法)是一种数学变换，可将时域 的微分方程变换为频域的代数方程，以简化计算。 例1: 对数变换A B AB

乘法运算简化 为加法运算

lg A lg B lg AB

例2: 相量法

正弦量

i1 i2 i I1 I2 I

正弦运算简化 为复数运算

相量

电路原理

1. 拉氏变换f(t)为定义在 [0, )区间的函数，t < 0 定义f(t)的拉氏变换式为： L{ f ( t )} 式中： s 为复频率 s j F ( s ) L{ f ( t )}

BUCT

, f(t)=0 。f ( t )e st

0

dt

即将时域函数f(t)积分变换到复频域F(s)。F(s) 称为时域函数f(t)的象函数，用大写字母表示,如I(s),U(s)。 f(t) 称为F(s)的原函数，用小写字母表示，如 i(t ), u(t )。

f (t )

j F ( s )e 2 j

1

j

st

ds 反变换

F ( s ) L f ( t ) 简写 1 f ( t ) L F ( s )

电路原理

2、需要说明的两点： 1) L{ f ( t )} f ( t )e st dt 该积分应为有限值。 0

BUCT

在线性电路分析中，用存在拉氏变换的电源激励系统，没有拉氏变 换的激励是没有意义的。

如：t 或 e ( t ) 拉氏变换不存在。t t

2

2) 积分下限为 0- 的问题 该变换忽略了 t<0 时的 f(t),而0-以前的状态可以通过初 始条件来考虑.f(t) k (t)

积分从0- 开始可以计及t=0 时 f(t) 包含的冲激， 给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来 方便。

0

t4

电路原理

拉氏变换分为两种：

函数变换和算子变换(比例、加减、微分、积分、平移等)。3.典型函数的拉氏变换 (1)指数函数L[e at

BUCT

F ( s) e st

f ( t )e 0

st

dt1

0

]

0

e

at

dt

1 s a

e

( s a ) t

s a

(2)单位阶跃函数L[ ( t )] ( t )e 0 st

dt

0

e

st

dt e s

1

st

0

1 s

(3)单位冲激函数L[ ( t )] 0 ( t )e st

dt ( t )e 00

s0

dt = 15

电路原理

14. 2

拉普拉斯变换的基本性质F ( s)

BUCT st

一.线性性质

f ( t )e

dt

0

若L[ f1 (t )] F1 ( s ) , L[ f 2 (t )] F2 ( s)则L[af1 ( t ) bf2 ( t )]j t

L[e

at

]

1 s a1 s

aF1 ( s ) bF2 ( s )

例1: [ K ( t )] j t L

e K cos t j sin t e s cos t j sin t

L[ ( t )]

L[ ( t )] 1

例2: [sin t ] L[ L 1

[ 1

1 2j1

(e

j t

e

j t

)]

2 j s j

s j

]

s 2

2

电路原理

二 、导数性质L[

F ( s) df ( t ) dt

f ( t )e

st

dt

0

BUCT

] sF ( s ) f (0 )

df ( t ) st st e dt e df ( t ) 0 0 dt st st e f ( t ) 0 f ( t )( s )e dt 0

udv uv vdu

e

st

f (t ) 0

s 0 f ( t )e

st

dt f (0 ) sF ( s )L[sin t ] s 2 2

例1:L[cos t ] L[

1 d

dt s 2

(sin t )] 0

s s 2 2

s

2

电路原理

L[

df ( t ) dt

] sF ( s ) f (0 )

BUCT

例2:L[ ( t )] L[

d dt

( t )] s

1 s

0 1

推广：L[

d f (t ) dt2

2

] s[ sF ( s ) f (0 )] f (0 )'

s F ( s ) sf (0 ) f (0 )2 '

L[

d f (t ) dtn

n

] s F ( s ) sn

n 1

f (0 ) f

n 1

(0 )

电路原理

三.积分性质t

设：L[ f (t )] F ( s )1 s F ( s)

BUCT

L[ f ( )d ] 0

该式表明，时域中的积分运算转化为复频域中的除法运算。例：L[t ] L[ ( t )dt ] 0 t

1 s

1 s

L[ ( t )]

1 s

电路原理

四.平移(延迟)性质设：L[ f (t )] F ( s ) st0

BUCT

则

L[ f ( t t 0 )] e

F ( s)

e

st 0

延迟因子

f(t)

f(t-t0)

t t0

tf ( t ) ( t ) ( t T )

例：

f(t) 1 T t

( t T )

F ( s)

1 s

1 s

e

sT

T

t10

电路原理

小结： (t )1

积分 (t )1 st ( t ) t n ( t )1 s2

BUCT

n! sn 1

微分sin t ( t ) s 2 22

cos t ( t )s s 2

e

- t

(t )

e

- t

sin t ( t )

1 s

( s ) 2

2

e

- t

t (t )n

n! ( s )n 1

L[ f ( t t 0 ) ( t t 0 )] e

st0

F ( s)11

电路原理

14. 3

拉普拉斯反变换的部分分式展开

BUCT

由象函数求原函数的方法：(1)公式法s (2)查表法

F ( s) f (t )

f (t )

1 2 j

j

j

F ( s )e ds

st

F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )f ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f n ( t )(3)分解法(部分分式展开法)

am 象函数的 F ( s) A A (n m ) n n 1 一般形式： F2 ( s ) b0 s b1 s bn F1 ( s )m

a0 s a1 s

m 1

F2 (s) = 0的根：单根、重根、共轭复根12

电路原理

F ( s) A

F1 ( s ) F2 ( s )

A

a0 s a1 sm

m 1 n 1

... am ... bn

b0 s b1 sn

(n m )

BUCT

1. F2 ( s ) 0的根为不等实根 p1 ... pn

利用部分分式将F(s)分解为：( s p1 )F ( s )( s p1 ) ( s p1 ) k1 k2( s p1 )

s p1

s p2p2 t

...

knpn t

s pn

f ( t ) k1e

p1t

k2e

...kn e

k1 ( s p1 )F ( s )

s p1

第一步：方程两端同时乘以因式(s-p1); 第二步：令s=p1代入，则得k1。s p2

k2 ( s p2 )F ( s )

...k n ( s pn )F ( s )

s pn

电路原理

例 : F ( s)

4s 5

2 s 5 s 6 ( s 2)( s 3)

4s 5

k1 s 2

k2 s 3 at

BUCT

p1 2 , p 2 3k1 4s 5 s 3

L[e

]

1 s a

3 s 2 2 t

k2 3 t

4s 5 s 2s 3

7

f ( t ) 3e

7e

电路原理

2. F2 ( s )有共轭复根

BUCT

一对共轭复根为F ( s) F1 ( s ) F2 ( s )

p1, 2 j F1 ( s ) [ s ( j )][ s ( j )]

k1 s j

k2 s j

k1,k2也是一对共轭复根设k1 k k 2 k

电路原理

F (s)

k1 s j

k2 s j L[e at

BUCT

设k1 k

k2 k

]

1 s a

f (t ) ( k e e

j ( j ) t

ke

j ( j ) t

e

)

k e [e t

t

j ( t )

e

j ( t )

] cos t j sin t cos t j sin t

2 k e cos( t )

e e

j t j t