地下水文学

地下水水文学

主讲：刘国东 教授

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第5讲

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第二章 地下水运动2.2 包气带水运动的基本方程

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水文地质与地下水

2.2 包气带水运动的基本方程水分特征曲线包气带水的基质势或吸力是其含水率的函数， 基质势ψm或吸力S与含水率θ关系的曲线即称为 水分特征曲线(图2-14)。 包气带土壤水分特征曲线须由实验室测出，不 同土壤质地的水分特征曲线不同(图2-14a),即 使是同一土壤由于结构不同、干容重不等，其 水分特征曲线也不相同(图2-14b) 。

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许多实验表明，对于同一个土样，即使在其 它外界条件不变的情况下，土壤在由湿变干 的脱湿过程，以及由干变湿的吸湿过程所测 得的水分特征曲线是不相同的，产生所谓的 滞后现象 (图2-15) 水分特征曲线斜率的倒数(或负倒数)称为(比) 容水率，即 或

容水率或比容水率表示单位基质势(或吸力)的 变化引起的含水量变化值，它随土壤含水率或 包气带水基质势ψm(或吸力S)而变化，可记为 C(θ)、C(ψm)或C(S)。四川大学水电学院

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2.2 包气带水运动的基本方程 包气带水渗流的基本定律包气带流动的达西定律 1931年，理查德(L.A.Richards)最早提出， 可以将达西定律引伸应用于包气带水的运动。 不过，这时的渗透系数K不再是一个常值，而 是一个与包气带含水率θ 有关的函数值，记为 K=K(θ)。 因此，包气带水运动的达西定律可 表示为

ψ (θ ) V = K (θ ) l四川大学水电学院

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式中 V—包气带水运动的断面平均渗透速度； K(θ)—与包气带含水率θ有关的包气带渗透系 数，也称导水率； l—包气带水的渗透距离；

ψ (θ)—与包气带含水率θ有关的包气带水的土 壤水势， ψ =z+ ψm; ψ(θ)则指相距 l的两处包气带水的土壤水势 ψ (θ ) 差，而 则为其土壤水势梯度。 l四川大学水电学院

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2.2 包气带水运动的基本方程

在笛卡尔坐标系中，包气带水的达西公式沿三个垂直方向的表达式记为 ψ(θ ) Vx = Kx (θ ) x

ψ (θ ) Vy = Ky (θ ) y

ψ(θ) Vz = Kz (θ) z

包气带的渗透系数因包气带水的渗透系数K是包气带含水率θ 的函数，而包气带基质势ψm也是含水率θ 的函数。因此，包气带的渗透系取K也基质 势的函数，即K=K(ψm)。四川大学水电学院

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实验证明，包气带的渗透系数随含水率的减小而降 低，其原因为： ①随着含水率的减小，包气带孔隙的实际过水 面积将减少，因此在单位时间内通过包气带。 单位断面积的水量相应减小 ②在包气带

含水率减小的过程，较大孔隙中的 水分率先排出，余下的水分必将在较小的土壤 空隙中流动，其所受的阻力相应增大； ③随着水分愈趋于在小孔隙中流动，其流程必 然更加弯曲，从而使实际流速相应降低。 非饱和状态的包气带渗透系数K(θ)恒低于饱和状态 的饱水带渗透系数K,两者的比值称之为相对渗透 相对渗透 率Kr。其与土壤含水率θ的关系曲线，如图2-16四川大学水电学院

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2.2 包气带水运动的基本方程 包气带水运动的基本微分方程边长为 x、 y、 z;时段 t P点:渗透速度=V(Vx,Vy,Vz),水的密度=ρ x方向两侧面的流速分别为： 左侧面： 左侧面： Vx Vx x x 2 x 2

右侧面： 右侧面： Vx + Vx x y方向两侧面的流速分别为： V y 后侧面： 后侧面： V y y y 2

V y y 前侧面： 前侧面： V y + y 2四川大学水电学院

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z方向两侧面的流速分别为： 下侧面： z Vz z 上侧面： + Vz z V Vz z 2 z 2 x方向两侧面的径流量 质量 ： 方向两侧面的径流量(质量 方向两侧面的径流量 质量): V x ρ (Vx x ) y z t 左侧面(流入)为： x 2 V x ρ (Vx + x ) y z t 右侧面(流出)为： x 2 x方向质量差： Vx x Vx x ) y z t ρ (Vx + ) y z t 流入量-流出量= ρ (Vx x 2 x 2 V = ρ x x y z t x四川大学水电学院

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2.2 包气带水运动的基本方程 V y y V y y ) x z t ρ (V y + ) x z t 流入量-流出量= ρ (V y y 2 y 2 V y = ρ x y z t y z方向质量差： Vz z Vz z 流入量-流出量= ρ (Vz ) x y t ρ (Vz + ) x y t z 2 z 2 V = ρ z x y z t zy方向质量差：

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设t时刻微元体的含水率为θ, t时间段内 的含水率变化为 θ

t

t

θ 则 t时间段内的水量变化为: ρ t x y z t根据质量守恒原理，有 V y Vx Vz θ ρ x y z t ρ x y z t ρ x y z t = ρ t x y z x y z t

化简得：

Vx V y Vz θ ( + + )= x y z t

将包气带水运动的达西公式(即下面三式)代入上式，四川大学水电学院

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2.2 包气带水运动的基本方程 ψ(θ) Vx = Kx (θ) x

ψ(θ) Vy = Ky (θ) y

ψ(θ) Vz= Kz (θ) z

可得： θ ψ ψ ψ = [ K x (θ ) ] + [ K y (θ ) ] + [ K z (θ ) ] t x x y y z z 将ψ =z+ ψm代入上式，得 θ ψ m ψ m ψ m

K z (θ ) = [ K x (θ ) ] + [ K y (θ ) ] + [ K z (θ ) ]+ t x x y y z z z

上式为均质各向异性包气带介质中包气带水运动的基本微分方 程式，也称为理查德(Richards)方程

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2.2 包气带水运动的基本方程各种形式的Richards方程以基质势ψm为变量的基本方程 包气带渗透系数K和容水率C均可表示为含水率θ的函数K(θ)和 C(θ),也可表示为基质势ψm的函数K(ψm) 和C(ψm)。由此，可将 Richards方程的左端改写为

ψ m θ dθ ψ m = = C (ψ m ) t dψ m t t将Richards方程中的K(θ)用K(ψm)代换，得

C (ψ m )

ψ m ψ ψ ψ m K z (ψ m ) ]+ = [ K x (ψ m ) m ] + [ K y (ψ m ) m ] + [ K z (ψ m ) t x x y y z z z

将Richards方程中的ψm 用毛管负压水头hm代换(ψm = hm),得

C (hm )

hm h h h K (h ) = [ K x (hm ) m ] + [ K y (hm ) m ] + [ K z (hm ) m ] + z m t x x y y z z z四川大学水电学院

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2.2 包气带水运动的基本方程以含水率为因变量的方程取包气带渗透系数K(θ) 和容水率C(θ)的比值，定义为包气带的扩散系数 D(θ),即 K (θ ) dθ dψ m D(θ ) = = K (θ ) / = K (θ ) C (θ ) dψ m dθ 扩散系数D(θ)的量纲为[L2T-1], 它也是含水率θ 、基质势ψm或吸力S的函 数。先将Richards方程写成以下形式，

θ ψ m θ ψ m θ ψ m θ K z (θ ) = [ K x (θ ) ] + [ K y (θ ) ] + [ K z (θ ) ]+ t x θ x y θ y z θ z z 由扩散系数D(θ)的定义，可得 θ θ θ θ K (θ ) = [ Dx (θ ) ] + [ Dy (θ ) ] + [ Dz (θ ) ] + z t x x y y z z z对于二维和一维只要在上述方程中降维即可。 θ θ 对于一维水平流动可写为 = [ D(θ ) ] t x x θ θ K (θ ) = [ D(θ ) ] + z 对于一维垂向流动可写为 t z z z四川大学水电学院