2014年5月15日模拟考试试卷

高三理科数学答案第 1 页(共 6 页)

2014年5月15日模拟考试试卷

唐山市2013—2014学年度高三年级第三次模拟考试

2014年5月15日模拟考试试卷

理科数学参考答案

一、选择题：

A卷：CBDAA CBCBA B卷：BCDAA BCDBA 二、填空题：

（13）x－y－2＝0

sinα＋sinβα＋β

（15）tan2cosα＋cosβ

三、解答题： （17）解：

DB AD

（14）x2＋(y－2)2＝3

3

（16）2

BDsin60 3

（Ⅰ）在△BDE中，由正弦定理得DE＝，

sin(120 －θ)2sin(60 ＋θ)ADsin60 3

在△ADF中，由正弦定理得DF＝ 4分

sin(30 ＋θ)2sin(30 ＋θ)

sin(60 ＋θ)33

由tan∠DEF＝tanθ＝3，

2sin(30 ＋θ)2

所以θ＝60 ． 6分

1 33

（Ⅱ）S＝·DF＝

28sin(60 ＋θ)sin(30 ＋θ)2(θ＋sinθ)(cosθ＋3sinθ)

33

＝＝． 10分 2[3(cos2θ＋sin2θ)＋4sinθcosθ]2(3＋2sin2θ)

6－333

当θ＝45 时，S取最小值 12分

22(3＋2)（18）解：

（Ⅰ）因为平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A1ACC1， 所以A1A⊥BC．

因为A1B⊥C1C，A1A∥C1C，所以A1A⊥A1B， 所以A1A⊥平面A1BC，所以A1A⊥A1C． 5分

1

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C-xyz． 设AC＝BC＝2，因为A1A＝A1C，

则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(1，0，1)，C(0，0，0)．

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→→CB＝(0，2，0)，→CA＝(1，0，1)，AB＝→AB＝(－2，2，0)．

1

11

设n1＝(a，b，c)为面BA1C的一个法向量，则n1·→CB＝n1·→CA1＝0， 2b＝0，则 取n1＝(1，0，－1)． a＋c＝0，

同理，面A1CB1的一个法向量为n2＝(1，1，－1)． 9分

n1·n26

所以cos n1，n2 ＝，

|n1||n2|3

6

故二面角B-A1C-B1的余弦值为 12分

3

（19）解：

（Ⅰ）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为Ai，i＝1，2，则

614A3 4 P(A1)＝，P(A2)＝＝

636636

则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为

5

P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝． 4分

36

故一顾客一次购买两件饮品，至少有一件获得奖励的概率

52335

p＝1－1＝ 6分

361296

()

x

（Ⅱ）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，则X的可能取值为x，0．

2

1 x 4 x2xx

由（Ⅰ）得P(X＝x)＝，PX＝＝，E(x)＝＝ 9分

36236363612

该商场每天销售这种饮品所得平均利润

x x1

Y＝y[(36－20)－E(x)]＝2416－＝－(x－48)2＋432．

41248

当x＝48时，Y最大．故x设定为48（元）为最佳． 12分 （20）解：

p p

（Ⅰ）抛物线C的准线x，依题意M4－4，

22

p

则42＝2p4，解得p＝4．

2

故抛物线C的方程为y2＝8x，点M的坐标为(2，4)， 3分

22yy（Ⅱ）设Ay1，B，y2．

88

y－488

直线MA的斜率k1＝，同理直线MB的斜率k2＝

yy1＋4y2＋4－28

88

由题设有＋0，整理得y1＋y2＝－8．

y1＋4y2＋4

y1－y28

直线AB的斜率k＝－1． 6分

yyy1＋y288

设直线AB的方程为y＝－x＋b．

由点M在直线AB的上方得4＞－2＋b，则b＜6．

(

)

(

)(

)

()

(

)

(

)()

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y2＝8x，由 得y2＋8y－8b＝0． y＝－x＋b

由Δ＝64＋32b＞0，得b＞－2．于是－2＜b＜6． 9分 |y1－y2|(y1＋y2)－4y1y2＝42b＋4， 于是|AB|＝2|y1－y2|＝8b＋2．

6－b

点M到直线AB的距离d＝MAB的面积

2

1

S|AB|·d＝22(b＋2)(6－b)．

2

设f(b)＝(b＋2)(6－b)2，则f (b)＝(6－b)(2－3b)．

2 2

当b∈－2，时，f (x)＞0；当b∈，6时，f (x)＜0．

33 2 3当b＝时，f(b)最大，从而S取得最大值． 12分

39

（21）解：

（Ⅰ）h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x，h (x)＝ex－1． 当x∈(－∞，0)时，h (x)＜0，h(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，h (x)＞0，h(x)单调递增． 当x＝0时，h(x)取最小值h(0)＝0． 4分

22kkx x x x x x

（Ⅱ）fg－＞1即e1－＞1－ ①

kkkkk

x x x x

由（Ⅰ）知，f－g≥0，即ek≥1＋，

kkkx x x x x x2

又1－＞0，则ek1－＞1＋1＝1－＞0．

kkkkk

2kx x xk

k所以e1－＞1． ② 7分

kk

设φ(t)＝(1－t)k－1＋kt，t∈[0，1]．

－

由k＞1知，当t∈(0，1)时，φ (t)＝－k(1－t)k1＋k＝k[1－(1－t)k]＞0， φ(t)在[0，1]单调递增，当t∈(0，1)时，φ(t)＞φ(0)＝0．

x2x2x2kx2

∈(0，1)，所以φ＝1－1＋k·0，

kkkk因此不等式②成立，从而不等式①成立． 12分 （22）解：

（Ⅰ）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，

又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥即CE． 因为AE⊥CE，所以OA⊥AE

． 所以AE是⊙O的切线． 5分

(

(

)

[)(

[[)]

())

)()())]()

(()

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，

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AEAB24

所以＝，则BD＝2AD，

ADBDADBD

所以∠ABD＝30 ，从而∠DAE＝30 ，

23

所以DE＝AEtan30 ．

3

由切割线定理，得AE2＝ED·EC，

232343

所以4＝CD，所以CD＝ 10分

333

（23）解：

ρ2cos2θ22cos2θ1

（Ⅰ）曲线C1ρsinθ＝1，即sin2θ＝

44ρ

在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，则

ρ θ

题设可知，ρ1＝α＝ ①

22

cos2α1

因为点P在曲线C1＋sin2α ②

4ρ1

θ θ

cos2sin2

221

由①②得曲线C2的极坐标方程为＝． 6分

ρ164

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

11 θ

1＋3sin2． 2|OM|1611 1

，所以|OM|的取值范围是[2，4]． 10分 的取值范围是164|OM|（24）解：

x≤－1， 3，

（Ⅰ）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ －2x－1，－1＜x＜1，

x≥1． －3， 1 1 1 1

由－2＜－2x－1＜0解得－x＜M＝－． 3分

2222

1 1 1 1 1 1 1 1 1

所以a＋≤a||b|＜＋×． 6分

363632624

1 1

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜b2＜

44

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)

＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分

22

所以|1－4ab|＞4|a－b|，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分

)

([

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