英德中学2005～2006年高二数学选修（2-1）期末模拟考试

题

班级： 姓名： 座号： 成绩：

1、(x+1)(x+2)>0是(x+1)(x2+2)>0的（ ）条件

A 必要不充分 B 充要 C 充分不必要 D 既不充分也不必要 2、已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（ ）条件

A 必要不充分 B 充分不必要 C 充要 D 既不充分也不必要 3、已知A 2, 5,1 ,B 2, 2,4 ,C 1, 4,1 ，则向量AB与AC的夹角为（ ） A 300 B 450 C 600 D 900

4、O、A、B、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间的一个基底，则（ ） A O、A、B、C四点共线 B O、A、B、C四点共面

C O、A、B、C四点中任三点不共线 D O、A、B、C四点不共面 5、（05广东卷）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

①若m ,l A,点A m,则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l// ,m// ,且n l,n m,则n ； ③若l// ,m// , // ,则l//m；

④若l ,m ,l m 点A,l// ,m// ,则 // .

其中为假命题的是 （ ） A ① B ② C ③ D ④ 6、（05广东卷）已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的 正三角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（ ）

A

1

4

B

133 C D 264

22

xy1 （ ） 1的离心率为，则m=7、（05广东卷）若焦点在x轴上的椭圆

22m

A 3 B

3 2

C

82 D

33

8、已知P 3cos ,3sin ,1 和Q 2cos ,2sin ,1 ，则PQ的取值范围是（ ） A 1,5 B 1,5 C 0,5 D 0,25

x2y2

1上一点P到它的右准线的距离为10, 则点P到它的左9、 已知椭圆

10036

焦点的

距离是( )

A 8 B 10 C 12 D 14

x2y2

1有共同的渐近线,且经过点 3,23的双曲线的一个焦10、与双曲线

916

点到

一条渐近线的距离是( )

A 1 B 2 C 4 D 8

11、若抛物线y2 2px p 0 上一点P到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则此点P的横坐标为（ ）

A 10 B 9 C 8 D 非上述答案

12、已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么（ ） A 曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0； B 凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上； C 不在C上的点的坐标不必适合F（x，y）=0；

D 不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0。 二、填空题（4*4=16分）

13、已知四面体A—BCD，设AB a，BC b，CD c，DA d,E、F分别为

AC、BD中点，则EF可用a、b、c、d表示为_______ ____.

14、“若A则B”为真命题，而“若B则C”的逆否命题为真命题，且“若A则B”是“若C则D”的充分条件，而“若D则E”是“若B则C”的充要条件，则┐B是┐E的 条件；A是E的 条件。（填“充分”“必要”、“充要”或“既不充分也不必要” ）

x2y2

15、设双曲线2 2 1的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点

ab

为F，若以AB为直径的圆恰好过F点，则离心率为

16、抛物线Y2＝8X上一点P到其焦点的距离为9，则其横坐标为___ ____。 三、解答题（共74分） 17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

18、（12分）已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为。 求抛物线的方程.

x2y2

19、（12分）已知+=1的焦点F1、F2，在直线l：x+y－6=0上找一点M，

59

求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．

20、（12分）A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4，试求MN的长

.

y2

1。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P121、（12分）给定双曲线x 2

2

及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．

11D1中，E,F分别是D1D,BD的中22、（14分）在棱长为1的正方体ABCD A1BC

1

CG CD

4点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下

列问题.

（1）求证：EF B1C;

（2）求EF与C1G所成的角的余弦; （3）求FH的长.

英德中学2005～2006年高二数学选修（2-1）

期末模拟考试题（答案）

二、填空题（4×4=16分） 13、

1

(a c) 14、必要 充分 15、2 16、7 2

三、解答题（共74分） 17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命

题、逆否命题，并判断它们的真假。

解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.（假命题） 逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.（假命题） 否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数.（假命题） 逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.（假命题）

18、（12分）已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15。 求抛物线的方程.

解：依题意可设抛物线方程为：y2 ax（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；

y2 ax则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立 得4x2 (4 a)x 1 0

y 2x 1

即：x1 x2

4 a1

x1x2 44

AB (k2 1)[(x1 x2)2 4x1x2] 5[(

得：a=12或-4

所以抛物线方程为y2 12x或y2 4x

4 a2

) 1] 4

x2y2

19、（12分）已知+=1的焦点F1、F2，在直线l：x+y－6=0上找一点M，

59

求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．

x2y2//

1，得F1（2，0）解：由，F2（-2，0），F1关于直线l的对称点F1（6，4），连F1F295

交l于一点，即为所求的点M，∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1F2|=45，∴a=25，又c=2，

/

x2y2

1． ∴b=16，故所求椭圆方程为

2016

2

20、（12分）A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4，试求MN的长

.

解：连结AM并延长与BC相交于E，又连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别为BC及

CD之中点.

现在MN=AN AM

22

AF AE 33

22212111

=(AF AE) EF=(CF CE)=(CD CB) (CD CB)=BD

33333223

∴MN=|MN|=

114|BD|=BD= 333

2

y2

1。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求21、（12分）给定双曲线x 2

线段P1P2的中点P的轨迹方程．

22

y1y22

1，x2 1． 解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x 22

2

1

两式相减得： (x1 x2)(x1 x2)

1

(y1 y2)(y1 y2) 0。 2

又设中点P（x,y），将x1 x2 2x，y1 y2 2y代入，当x1 x2时得

2x

y y2y 12yy1 y2

0。又k 1 2x1 x2x1 x2x 2

， 代入得

2x2 y2 4x y 0。

当弦P1P2斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程

1

4(y )2

8(x 1) 1。 是

77

2

22、（14分）在棱长为1的正方体

ABCD A1BC11D1中，E,F分别是D1D,BD的中点，G

1

CG CD

CG4在棱CD上，且，H为1的中点，应用空间向量方法求解下列问题.

（1）求证：

EF B1C;

CG（2）求EF与1所成的角的余弦;

（3）求FH的长.(16分)

1

E（0,0,)

2， 解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则

113

F(,,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),G(0,,0)224

111

EF (,, ),B1C ( 1,0, 1)

222

11

EF

B1C 0 0

2

2

则EF B1C即EF B1C

1C1

G (0, ,1) C1G

4，由（1）知 （2

）

11313

EF

EF C1G 0 ( ) 0

222428

cosEF,B1C

EF C1G

EF C1G17

CG故EF与1所成角的余弦值为

.

7111

H（0,,),又F(,,0)

H为

C1G1

的中点，8222（3）

FH FH

四、参考题

23．（05广东卷）（本小题满分14分） 如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=234.F是线段PB上一点，CF 上，且EF⊥PB.

（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；

（Ⅱ）求二面角

B—CE—F的大小.

（I）证明：∵PA AC 36 64 100 PC

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。 故PA⊥平面ABC

2

2

2

15

34，点E在线段AB17

又∵S PBC

11

|AC||BC| 10 6 30 22

而

111534

|PB||CF| 234 30 S PBC 2217

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB ∴PB⊥平面CEF （II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC 故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。

tan FEB cot PBA

5AB105

二面角B—CE—F的大小为arctan AP633

24、（05广东卷）（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.

（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

x1 x2

x 3则 （1） y y1 y2 3

∵OA⊥OB ∴kOA kOB 1, 即x1x2 y1y2 1， (2)

又点A，B在抛物线上，有y1 x1,y2 x2，代入（2）化简得x1x2 1 ∴y

2

2

y1 y21211222

(x1 x2) [(x1 x2)2 2x1x2] (3x)2 3x2 333333

2

所以重心为G的轨迹方程为y 3x （

2

3

II

）

S AOB

111222222222222|OA||OB| (x1 y1)(x2 y2) x1x2 x1y2 x2y1 y1y2 222

11116666

x1 x2 2 2x1 x2 2 2( 1)6 2 2 1 2222

由（I）得S AOB

6

6

当且仅当x1 x2即x1 x2 1时，等号成立。

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；