考点测试34 一元二次不等式及其解法

一、基础小题

1．不等式(x －1)(3－x )<0的解集是( )

A ．(1,3)

B ．

C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)

D ．{x |x ≠1且x ≠3}

答案 C

解析 根据题意，(x －1)(3－x )<0⇔(x －1)(x －3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.

2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x ⎪

⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28

B ．－26

C ．28

D ．26 答案 C

解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.

3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2

，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，

则不等式f (x )<f (4)的解集为( ) A ．{x |x ≥4}

B ．{x |x <4}

C ．{x |－3<x <0}

D ．{x |x <－3}

答案 B 解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x 2

<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0.综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}．

4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )

A ．

B ．(－4,4)

C ．(－∞，－4]∪∪

C ．∪(0，＋∞)

D ．∪(0，＋∞)．

6．不等式|x 2－x |<2的解集为( )

A ．(－1,2)

B ．(－1,1)

C ．(－2,1)

D ．(－2,2) 答案 A

解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②

由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)，故选A. 7．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为(－2，0)，(2，0)，则ax 2＋bx

＋c >0的解的情况是( )

A ．{x |－2<x <2}

B ．{x |x >2或x <－2}

C ．{x |x ≠±2}

D ．不确定，与a 的符号有关

答案 D

解析 当a >0时，解集为{x |x >2或x <－2}；当a <0时，解集为{x |－2<x <2}，故选D.

8．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，那么a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－2)

B ．(2，＋∞)

C ．(－∞，－2]

D ．上是减函数，∴－

a －

2×3

≥1，解

得a ≤－2.故选C.

9．设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2

＋(1－2a )x －2>0的解集有下列四个命题：

①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a <－1

2，

则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，2；④若a >0，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞)．

其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

答案 C

解析 原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0.当a ＝0时，不等式化为x －2>0，得x >2.当

a ≠0时，方程(ax ＋1)(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a <－12，解不等式得－1

a

<x <2；

若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12<a <0，解不等式得2<x <－1

a ；若a >0，解不等式得x <

－1

a

或x >2.故①为假命题，②③④为真命题．

10．若函数f (x )＝x 2

＋ax ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C ．(－∞，－2]∪ 答案 D

解析 由题意知，对于任意x ∈R ，x 2

＋ax ＋1≥0恒成立，则Δ＝a 2

－4×1×1＝a 2

－4≤0，解得－2≤a ≤2，故选D.

11．设函数f (x )＝x 2

－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为( )

A ．(7，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)

C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)

答案 A

解析 由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，知Δ＝a 2

－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6.又g (x )＝ax －2a 的图象恒过(2,0)，故当a >6时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示．由函数的图象知，

当a >6时，g (x 0)<0⇔x 0<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >6，f ，∴a >7.

当a <－2时，g (x 0)<0⇔x 0>2，此时函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a 2<0，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2，＋∞上为增函数，又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立．综上，实数a 的取值范围为a >7，故选A. 12．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12

在区间内的所有零点之和等于________． 答案 4

解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)

对称，可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋x ，再令x 取x ＋1可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和为12

×2×4＝4.

二、高考小题

13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )

A ．c ≤3

B ．3<c ≤6

C ．6<c ≤9

D ．c >9 答案 C

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ f －＝f －，f －＝f －，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝11.

则有f (－1)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.

14．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( )

A ．(0,4]

B ．

答案 B

解析 由题意可得M ＝{x |－1<x <4}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <4}．

15．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52

B.72

C.154

D.152 答案 A

解析 解法一：∵由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，

得(x －4a )(x ＋2a )<0，即－2a <x <4a ，

∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .

∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15，∴a ＝52

.故选A. 解法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，

故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52

，故选A. 16．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)．

答案 (－4,1)