1981年全国统一高考数学试卷(理科)

一、解答题（共10小题，满分120分） 1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B． 2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果． 3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．

4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．

5．（10分）解不等式（x为未知数）：

6．（10分）用数学归纳法证明等式

对一切自然数n都成立．

．

7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．

（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

8．（17分）在120°的二面角P﹣a﹣Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．

9．（17分）给定双曲线

．

（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 10．（20分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a﹣b，u2=a2﹣ab+b2，u3=a3﹣a2b+ab2﹣b3，…，uk=ak﹣ak﹣1b+ak﹣2b2﹣…+（﹣1）kbk；求证：un=un﹣1+un﹣2（n≥3）．

1981年全国统一高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、解答题（共10小题，满分120分） 1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．

2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．

3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．

考点：专题：分析：解答：

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 阅读型. 本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行逐一判断即可. 解：见表

对于第一个：平行四边形不一定是矩形，是矩形一定是平行四边形，故答案为：必要条件；对于第二个：a=3 则|a|=3,但|a|=3 则 a=± 3,故答案为：充分条件；对于第三个：θ=150°则 sinθ= ,但 sinθ= 则 θ 可能为 30° ,故答案为：充分条件；

点评：

对于第四个：点在圆上，则点的坐标适合圆的方程，反之，点的坐标适合圆的方程则点在圆上，故答案为：充要条件判断充要条件的方法是： ① p q 为真命题且 q p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 ② p q 为假命题且 q p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 ③ p q 为真命题且 q p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若

4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．

5．（10分）解不等式（x为未知数）：．

6．（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．

7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．

（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

9．（17分）给定双曲线

．

（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

10．（20分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a﹣b，u2=a2﹣ab+b2，u3=a3﹣a2b+ab2﹣b3，…，uk=ak﹣ak﹣1b+ak﹣2b2﹣…+（﹣1）kbk；求证：un=un﹣1+un﹣2（n≥3）．

于是有点评：

.n≥3