广东省一级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献,高中数学必修1同步优化训练第一章 集合与简易逻辑1 A卷(附答案)

第一章 集合与简易逻辑(一)

●知识网络

集合与元集合的有关概集合与集补集集合的运交并解含绝对值的不等集合的应解一元二次不等解简单分式不等

●范题精讲

【例1】 已知集合A、B是全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A∩B={2},(∩(

UB)={1,9},(

UA)∩B={4,6,8},求

UA)

A、B.

U

A

3,5, 7

1,9

B4,6,

8

分析:作出文氏图，利用数形结合法求解本题.

解:由图可得A={2，3，5，7},B={2，4，6，8}.

【例2】 已知A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+8=2},C={x|x2+2x-8=0}.若 A∩B,且 A∩C= ,求a的值.

解:∵B={x|(x-3)(x-2)=0}={3,2}, C={x|(x+4)(x-2)=0}={-4,2}, 又∵ A∩B, ∴A∩B≠ . 又∵A∩C= ,

∴可知-4 A,2 A,3∈A. ∴由9-3a+a2-19=0， 解得a=5或a=-2.

①当a=5时，A={2,3}，此时A∩C={2}≠ ,矛盾， ∴a≠5；

②当a=-2时，A={-5,3}，此时A∩C= , A∩B={3}≠ ,符合条件. 综上①②知a=-2.

评注:求出a值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果.

【例3】 解关于x的不等式x2-(a+

1

)x+1＜0(a≠0). a

分析:解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏，也不能重复.

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解:原不等式化为(x-a)(x-∴相应方程的根为a、当a＞

1

)＜0, a

1. a

11

，即-1＜a＜0或a＞1时，解集为{x|＜x＜a}. aa1

当a=，即a=±1时，解集为 .

a11当a＜，即0＜a＜1或a＜-1时，解集为{x|a＜x＜ }.

aa

1

综上，当-1＜a＜0或a＞1时，解集为{x|＜x＜a};

a

当a=±1时，解集为 ；

1

当0＜a＜1或a＜-1时，解集是{x|＜x＜a}.

a

评注:解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如何分类讨论三个问题.

x2-x-30

【例4】 已知A={x||x-a|≤1},B={x|≥0},且A∩B= ，求a的取值范围.

x-3

分析:先利用解含绝对值不等式的方法及积的符号法则解不等式，求出A和B，再利用数轴表示出A和B(如下图所示)，得到A∩B= 时应满足的条件，从而求出a的取值范围.

解:A={x||x-a|≤1}={x|a-1≤x≤a+1}.

x2-x-30

不等式≥0,

x-3

x 6 x 5 ≥0, 即

x-3

x-3 0, x 3 0,

其解集是 与 的解集的并集.

(x 6)(x 5) 0(x-6)(x 5) 0

x2-x-30

解得不等式≥0的解集是{x|x≥6}∪{x|-5≤x＜3}={x|x≥6或-5≤x＜3}.

x-3

所以B={x|-5≤x＜3或x≥6}. 要使A∩B= ，必须满足

a 1 3,

a+1＜-5或

a 1 6,

即a＜-6或4≤a＜5.

所以，满足条件的a的取值范围是a＜-6或4≤a＜5.

评注:将集合A、B都标在数轴上，借助于图形直观性找到需满足的条件，再转化为与之等价的关于a的不等式组.这种数形结合的数学思想很重要.

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●试题详解

高中同步测控优化训练(一) 第一章 集合与简易逻辑(一)(A卷)

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共30分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.已知A={x|x≤32,x∈R},a=,b=2,则

A.a∈A且b A B.a A且b∈A C.a∈A且b∈A D.a A且b A 答案:C

2.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A∩(

UB)等于

A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3} 解析:∵U={1,2,3,4,5},B={2,5}, ∴

UB={1,3,4}.∴A∩(

UB)={1,3}.

答案:D

3.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:由于集合中的元素是互异的,所以a、b、c互不相等,即△ABC一定不是等腰三角形. 答案:D

4.集合A={x∈R|x(x-1)(x-2)=0}，则集合A的非空子集的个数为

A.4 B.8 C.7 D.6

解析:集合A={0，1，2}，共有23=8个子集，其中非空子集有7个，故选C.这里特别注意{0}≠ .

答案:C

5.已知集合A={x||2x+1|>3},B={x|x2+x-6≤0},则A∩B等于

A.(-3,-2］∪(1,+∞) B.(-3,-2］∪［1,2) C.［-3,-2)∪(1,2］ D.(-∞,-3］∪(1,2］ 解析:A={x||2x+1|>3}={x|2x+1>3或2x+1<-3}={x|x>1或x<-2}, B={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2}(如下图

).

答案:C

6.已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1},若Q P，那么a的值是

A.1 B.-1 C.1或-1 D.0，1或-1

解析:因为由x2=1得x=±1，所以P={-1,1}.又因为Q P，所以分Q= 和Q≠ 两种情况讨论.

(1)若Q= ，则a=0；

(2)若Q≠ ，则a≠0，Q={x|x=

1

}，所以a=-1或1. a

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综合(1)(2)可知，a的值为0，1或-1. 答案:D

7.设U为全集，P、Q为非空集合，且PQU.下面结论中不正确的是

A.(

UP)∪Q=U

B.( UP)∩Q=

C.P∪Q=Q D.P∩(

U

P

UQ)=

解析:由文氏图知(答案:B

UP)∩Q≠

.

2x 4,

8.不等式组 的解集是{x|x＞2}，则实数a的取值范围是

3x a 0

A.a≤-6 B.a≥-6 C.a≤6 D.a≥6

答案:B

9.若|x+a|≤b的解集为{x|-1≤x≤5},那么a、b的值分别为

A.2，-3 B.-2，3 C.3，2 D.-3，2 答案:B

10.设全集U=R，集合E={x|x2+x-6≥0}，F={x|x2-4x-5＜0}，则集合{x|-1＜x＜2}是 A.E∩F

B.( C.(

UE)∪(

UF)

UE)∩F

D. U(E∪F)

解析:E={x|x2+x-6≥0}={x|x≤-3或x≥2}, F={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}. 借助数轴知{x|-1＜x＜2}=(答案:B

第Ⅱ卷(非选择题 共70分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

11.设T={(x,y)|ax+y-3=0},S={(x,y)|x-y-b=0}.若S∩T={(2,1)},则a=_______,b=_______.

UE)∩F.

x 2, ax y 3 0, a 1,

解析:由S∩T={(2,1)},可知 为方程组 的解，解得

x y b 0y 1b 1.

答案:1 1

12.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=_______. 解析:∵M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},∴N={0,2,4}.∴M∩N={0,2}. 答案:{0,2}

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ax

＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为________. x 1ax

解析:由＜1得［(a-1)x+1］(x-1)＜0，由不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}知，1、2

x 1

13.不等式

为方程［(a-1)x+1］(x-1)=0的两根，

∴(a-1)×2+1=0.

1. 21答案:

2

∴a= 14.不等式

x(x 2)

<0的解集为_______. x 3

x(x+2)(x-3)<0.

解析:原不等式

如下图,由数轴穿根法可知原不等式的解集为{x|0<x<3或x

<-2}.

答案:{x|0<x<3或x<-2}

三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若A=B，求实数c的值.

a b ac2

解:若 a+ac-2ac=0, 2

a 2b ac

所以a(c-1)2=0,即a=0或c=1.

当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去； 当c=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.

a b ac2若 2ac2-ac-a=0. a 2b ac

因为a≠0，所以2c2-c-1=0, 即(c-1)(2c+1)=0. 又c≠1，所以只有c=-

1. 2

1. 2

2x 1

<1},若A B,求实数a的取值x 2

经检验，此时A=B成立.综上所述c=-

16.(本小题满分10分)设集合A={x||x-a|<2},B={x|范围.

解:A={x|-2<x-a<2}={x|a-2<x<a+2},

∵

2x 1

<1x 2x 3

<0x 2

(x+2)(x-3)<0-2<x<3,

∴B={x|-2<x<3}. 如下图,∵A B,

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a 2 2,

∴

a 2 3.

解得0≤a≤1.

17.(本小题满分10分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.

解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},

由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10). (1)当2＜a＜10时，Δ＜0,B= A;

(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠ . 若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2, 此时B={x|x2-2x+1=0}={1} A;

若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1, 此时B={2,-1}A.

综上所述，当2≤a＜10时，均有A∩B=B.

18.(本小题满分12分)解不等式：(1)1＜|x-2|≤3;(2)|x-5|-|2x+3|＜1.

分析:解含绝对值的不等式应根据绝对值的概念去掉绝对值符号，(2)中可采用零点分区间法去绝对值符号.

x 2 1,

(1)解法一:原不等式即

x 2 3.

由①得x＜1或x＞3.

由②得-1≤x≤5(如图

).

① ②

所以原不等式的解集为{x|-1≤x＜1或3＜x≤5}.

解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.

x 2 0, x 2 0,

或

1 (x 2) 3,1 x 2 3

即1＜x-2≤3或-3≤x-2＜-1,

解得3＜x≤5或-1≤x＜1.

所以原不等式组的解集为{x|-1≤x＜1或3＜x≤5}. (2)解:①当x≥5时，原不等式可化为 (x-5)-(2x+3)＜1, 解得x≥5.

2

≤x＜5时，原不等式可化为-(x-5)-(2x+3)＜1, 31

解得＜x＜5.

3

②当-

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③当x＜-

2

时，原不等式可化为 3

1

或x＜-7}. 3

x 1

≥0},求A∩B, x 2

-(x-5)+(2x+3)＜1,解得x＜-7. 综上可知，原不等式的解集为{x|x＞

19.(本小题满分12分)已知U={x|x2-3x+2≥0},A={x||x-2|＞1},B={x|A∪B,(

UA)∪B,A∩(

UB).

解:∵U={x|x2-3x+2≥0}={x|(x-2)(x-1)≥0}={x|x≥2或x≤1}, A={x||x-2|＞1}={x|x-2＞1或x-2＜-1}={x|x＞3或x＜1},

(x 1)(x 2) 0B={x| }={x|x＞2或x≤1}.

x 2 0

由图(1)可知,A∩B={x|x＞3或x＜1},

A∪B={x|x＞2或x≤

1}.

图(1)

由图(2)可知易知

UA={x|2≤x≤3或x=1},

UB={x|x

=2}.

图(2)

由图(3)可知

,(

UA)∪B={x|x≥2

或x≤1}=U.

图(3)

由图(4)可知,A∩(

UB)=

.

图(4)