中国石油大学华东期末高数题

第二十届高等数学竞赛试卷

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说明：

1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效. 2. 题目所在页背面为草稿纸. 3. 试卷正文共7页.

中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2006年6月4日

一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

a 1.若x 0时，(1 ax) 1与xsinx是等价无穷小，则解题过程是：

1

124

.

2.x 0

lim(cosx)

ln(1 x2)

.

解题过程是：

1x2

3 0sintdt,x 0,f(x) x

a,　　　　 x 0,在x 0处连续，则a 3. 设函数

解题过程是：

.

设z xysin

4.

解题过程是：

y z z,则x y x x y

.

1

微分方程xy 2y xlnx满足y(1) 的解为：

95.

解题过程是：

a若0 x 1

6.设a 0,f(x) g(x) ,而D表示全平面，

0,其他 则 I f(x)g(y x)dxdy _______

D

.

解题过程是：

7.

2

2

(x2005 cos2x)tan2xdx

.

解题过程是：

1 2 n

sin sin sin

n n nnn 8.

lim

解题过程是：

z

.

设空间区域 由x2 y2 z2 1所界定,计算 edv

9.

解题过程是： 0.设在上半平面

.

D (x,y)|y 0

内，函数

f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t 0都

2f(tx,ty) tf(x,y). 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，则 有

yf(x,y)dx xf(x,y)dy L.

解题过程是：

二、计算题（每小题6分，本题共42分）：

.

1.用变量代换x cost(0 t

)化简微分方程：(1 x2)y xy y 0，并求满足y

解题过程是：

2. 设 是锥面

x 0

1,y

x 0

2的解.

z z 1)

的下侧，计算曲面积分

xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy

..

解题过程是：

3.设函数y ax3 bx2 cx 2在x 1处有极小值0，且在点(0,2)处函数的图形有拐点，试确定常数a,b和c的值.

解题过程是：

4.设函数f(x)在( , )上连续，且对任意的t满足下式：

f(t) 2

求函数f(x).

x2 y2 t2

(x

2

y2)f(x2 y2)dxdy t4

5.求旋转抛物面z x2 y2与平面x y 2z 2之间的最短距离．.

解题过程是：

6.设有一高为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程

2(x2 y2)

z h(t) (设长度为厘米，时间为小时)，

h(t)

已知体积减少的速率与侧面积成正比，（比例系数0.9）,问高为130厘米的雪堆全部融化需要多少时间？

解题过程是：

7.设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,计算函数u

在点P处沿方向n的方向导数和在点P处的梯度.

解题过程是：

三、证明题（本题8分）：

6x2 8y2

z

设函数 (y)有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，

(y)dx 2xydy

24L2x y

(I)证明：对右半平面x 0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (y)dx 2xydy

2x y

2

4

C

0；

(II)求函数 (y)的表达式.

中国石油大学（华东）

第二十届高等数学竞赛试卷参考答案

一、填空题（每小题5分，本题共50分）：

a (1 ax) 1x 0xsinx1.若时，与是等价无穷小，则

1

(1 ax) 1~ ax2

2

x 0xsinx~x4.解当时，，.

2

1

4

124

.

1 ax2

(1 ax)1lim lim2 a 1

x 04x于是，根据题设有x 0xsinx，故a=-4.

1

24

1

2.x 0

lim(cosx)

ln(1 x2)

.

1

lim(cosx)ln(1 x

解

x 0

2

)

=

e

x 0ln(1 x2)

lim

1

lncosx

,

12

而

sinx

lncosxlncosx 1lim lim limx 0ln(x 02x21 x2)x 0x2

e

，故原式=

1e

.

1x2

3 0sintdt,x 0f(x) x

a,　　　　 x 0在x 0处连续，则a 3. 设函数

limf(x) f(0) af(x)x 0解由题设知，函数在处连续，则x 0，

.

limf(x) lim

又因为

x 0

x 0

x

sint2dtx3

sinx211

lim a x 03x23. 3. 所以

4.

y

设z xyf ,函数f(u)可导,则xz x yz y

x

.

zy y y

解: yf xyf 2

x x x x

z y y 1 y

xf xyf xf yf y x x x x

y2 y y

yf f ,

x x x

y , x

y y xz yz 2xyf 0 2xysin 0 2z. xy

x x

1

微分方程xy 2y xlnx满足y(1) 的解为：

95.

.

解：原方程等价为：y y

2

dxex[

2

y lnx，于是通解为：x

1

[ x2lnxdx C]

lnx e

1

由y(1) ，

9

111xlnx x C39x2x2

11

得C 0，故所求通解为：y xlnx x..

39

dx C]

xdx

2

a若0 x 1

6.设a 0,f(x) g(x) ,而D表示全平面，

0,其他则 I f(x)g(y x)dxdy _______.

D

解：本题积分区域为全平面，但只有当

0 x 1,0 y x 1

时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

a若0 y x 1;

g(y x)

0,其他,

20 x 1,a

f(x)g(y x) x y 1 x,

0,其他

I

a若x y 1 x;

g(y x)

0,其他,

D

f(x)g(y x)dxdy

2

0dxdy a dx

01

x 1x

D1

2

adxdy

1

dy

D2

a2 [(x 1) x]dx a2.

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