高数C2习题册答案

ferhgdth

习题一 定积分的概念与性质，微积分的基本公式

一、单项选择题

1、D 2、B 3、C 4、C *5、D

二、填空题

1． 2．

x2 edx 3． 0 4．x 1

4

8．

6．f(b) f(a) 7．

三、求解题

1．求下列函数的导数

2x42x62（1

）解： (x) sin2x （2）解： (x) ecosx 2x ecosx 3x

2

3

2．求下列极限：

*(1)lim

x 0x 0

x2

arcsin2dtx3

x2

*(2) lim

12

(n 2n n)

n n2

1

2n n

解：lim

lim

x 0

arcsinx3

解：lim

2xarcsin2x

3x2

lim

1 n nn

12arcsin2x4

lim

lim

n x 0 n3x3i 1

x 0

lim

x2

arcsinx

3

lim

arcsin2x 2x

3x2

x 0

2 3

lim

2arcsin2x4

x 0 3x3

故极限不存在。

3． 证明： (x)=

=x

2

x

x

a

(x t)2f(t)dt= (x2 2xt t2)f(t)dt

a

x

x

a

ax

x

a

f(t)dt 2x tf(t)dt t2f(t)dt

x

2

a

a

(x) 2x f(t)dt xf(x) 2 tf(t)dt 2x2f(x) x2f(x)

ferhgdth

=2

(x t)f(t)dt

a

x

x

4． 解：y e(x 1)，令y 0，得x 1， 当x 1时，y 0；当x 1时，y 0，

所以，函数y在( ,1)内单调递减，在(1, )单调递增， 在x 1点处取得极小值y(1)

e(t 1)dt=2 e.

1

t

习题二 定积分的换元积分法，分部积分法

一、计算题

1．计算下列定积分 (1)

3

2

(x 1)dx (2) te

3

1

1 t22

dt

11 t2

20

解：原式=

3

2

(x 1)d(x 1) 解：原式= e

t265

= e2

4

4

3

1d( t2)

2

12

1

=(x 1)44

(3)

1

3 210

1 e

(1 sin3x)dx

(4) 1

4

解：原式

dx

sinxdx

解：原式

4

3

1

(1 cos2x)dcosx

2 1

14

1)1 (cosx cos3x) 0

3

43 2ln

32

(5)

1x2 x2

1

dx (6) 2xsin2xdx

1

解：令x tant 解：原式 2xdcos2x

20

原式

3

4

1

(xcos2x02 2cos2xdx)

022 3

4

1 1sectcost

dt 3dt ( sin2x02) 22

222tant4sint

ferhgdth

11

3dsint2

sint4sint

3 4

4

(7)

32

arccosxdx (8) sinlnxdx

1

e

解：原式 xarccos 0

1

解：原式 xsinlnx

xcoslnx dx

1xe1

e

e 11e

esin1 xcoslnx1 xsinlnx dx

1

2620x

1 122

esin1 ecos1 1

sinlnxdx

1

e

1

故 1221

sinlnxdx (1 esin1 ecos1) 1

2

e

2． 解：令x 1 t，则

t

2

111

f(x 1)dx f(t)dt dt dt

11 et01 t 1

1

111111u

令e u，则 dt du ( )du ln e 1(1 u)u e 1u1 u 11 et1 u

1

e 1

ln2 ln(1 e)

11

dt ln(1 t)0 ln2 01 t

1

二、证明题

2

f(x 1)dx ln(1 e)

1

n

1．证明：令x 1 t，则

10

xm 1 x dx (1 t)mtndt (1 t)mtndt

1

1

(1 x)mxndx

2．证明：令x t，则

b

b

f(x)dx

b

b

f( t)dt f( x)dx

b

b

ferhgdth

11

11111111xx

3．证明：令x ，则 dt dx dx ( )dt1222 22 11x1 xt1 t1 xtx1 t

4．证明： ( x)

则 ( x)

x

f(t)dt，令t u，

x0

x

f(t)dt f( u)du 又 f(u)是奇函数

（x) f(u)du

x

即 (x)

x

f(t)dt是偶函数.

习题三 广义积分，定积分的几何应用

一、选择题

1. B 2. C 3. D 二、填空题

1． 1，11； 1，2.

，(r 1). 1 1

三、计算题

1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值

(1)

e

x21

(2) 1001xln2x1 x解：原式

e

2

(1 x) 2(1 x) 11

lnx 解：原式 10021lnx 1 x

1

lnx

e

1 (

1

1

1 x

98

2

1 x

99

1

1 x

100

)d(1 x)

(

111 )2 97 979899 4

(3)

1

1 x

dx (4)

lnxdx

1

解：原式

1

(1 x) 解：原式 x(lnx 1)10

ferhgdth

2(1 x)

1210

2 1

lnlnx

2 k 1 11

2．解： dlnxdx 1 2(lnx)k1 k 2x(lnx)k(lnx)2 k 1 1 k

发散 k 1

ln1 k2

k 1

k 1

(ln2)1 xlnln2 (x 1) (ln2)1 x(ln2)1 x

令f(x) ，则f (x)

(x 1)2x 1x 1

111

为驻点，且1 x 1 时，f (x) 0；x 1 时，f (x) 0， lnl …… 此处隐藏：7571字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……