ferhgdth

习题一 定积分的概念与性质，微积分的基本公式

一、单项选择题

1、D 2、B 3、C 4、C *5、D

二、填空题

1． 2．

x2 edx 3． 0 4．x 1

4

8．

6．f(b) f(a) 7．

三、求解题

1．求下列函数的导数

2x42x62（1

）解： (x) sin2x （2）解： (x) ecosx 2x ecosx 3x

2

3

2．求下列极限：

*(1)lim

x 0x 0

x2

arcsin2dtx3

x2

*(2) lim

12

(n 2n n)

n n2

1

2n n

解：lim

lim

x 0

arcsinx3

解：lim

2xarcsin2x

3x2

lim

1 n nn

12arcsin2x4

lim

lim

n x 0 n3x3i 1

x 0

lim

x2

arcsinx

3

lim

arcsin2x 2x

3x2

x 0

2 3

lim

2arcsin2x4

x 0 3x3

故极限不存在。

3． 证明： (x)=

=x

2

x

x

a

(x t)2f(t)dt= (x2 2xt t2)f(t)dt

a

x

x

a

ax

x

a

f(t)dt 2x tf(t)dt t2f(t)dt

x

2

a

a

(x) 2x f(t)dt xf(x) 2 tf(t)dt 2x2f(x) x2f(x)

ferhgdth

=2

(x t)f(t)dt

a

x

x

4． 解：y e(x 1)，令y 0，得x 1， 当x 1时，y 0；当x 1时，y 0，

所以，函数y在( ,1)内单调递减，在(1, )单调递增， 在x 1点处取得极小值y(1)

e(t 1)dt=2 e.

1

t

习题二 定积分的换元积分法，分部积分法

一、计算题

1．计算下列定积分 (1)

3

2

(x 1)dx (2) te

3

1

1 t22

dt

11 t2

20

解：原式=

3

2

(x 1)d(x 1) 解：原式= e

t265

= e2

4

4

3

1d( t2)

2

12

1

=(x 1)44

(3)

1

3 210

1 e

(1 sin3x)dx

(4) 1

4

解：原式

dx

sinxdx

解：原式

4

3

1

(1 cos2x)dcosx

2 1

14

1)1 (cosx cos3x) 0

3

43 2ln

32

(5)

1x2 x2

1

dx (6) 2xsin2xdx

1

解：令x tant 解：原式 2xdcos2x

20

原式

3

4

1

(xcos2x02 2cos2xdx)

022 3

4

1 1sectcost

dt 3dt ( sin2x02) 22

222tant4sint

ferhgdth

11

3dsint2

sint4sint

3 4

4

(7)

32

arccosxdx (8) sinlnxdx

1

e

解：原式 xarccos 0

1

解：原式 xsinlnx

xcoslnx dx

1xe1

e

e 11e

esin1 xcoslnx1 xsinlnx dx

1

2620x

1 122

esin1 ecos1 1

sinlnxdx

1

e

1

故 1221

sinlnxdx (1 esin1 ecos1) 1

2

e

2． 解：令x 1 t，则

t

2

111

f(x 1)dx f(t)dt dt dt

11 et01 t 1

1

111111u

令e u，则 dt du ( )du ln e 1(1 u)u e 1u1 u 11 et1 u

1

e 1

ln2 ln(1 e)

11

dt ln(1 t)0 ln2 01 t

1

二、证明题

2

f(x 1)dx ln(1 e)

1

n

1．证明：令x 1 t，则

10

xm 1 x dx (1 t)mtndt (1 t)mtndt

1

1

(1 x)mxndx

2．证明：令x t，则

b

b

f(x)dx

b

b

f( t)dt f( x)dx

b

b

ferhgdth

11

11111111xx

3．证明：令x ，则 dt dx dx ( )dt1222 22 11x1 xt1 t1 xtx1 t

4．证明： ( x)

则 ( x)

x

f(t)dt，令t u，

x0

x

f(t)dt f( u)du 又 f(u)是奇函数

（x) f(u)du

x

即 (x)

x

f(t)dt是偶函数.

习题三 广义积分，定积分的几何应用

一、选择题

1. B 2. C 3. D 二、填空题

1． 1，11； 1，2.

，(r 1). 1 1

三、计算题

1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值

(1)

e

x21

(2) 1001xln2x1 x解：原式

e

2

(1 x) 2(1 x) 11

lnx 解：原式 10021lnx 1 x

1

lnx

e

1 (

1

1

1 x

98

2

1 x

99

1

1 x

100

)d(1 x)

(

111 )2 97 979899 4

(3)

1

1 x

dx (4)

lnxdx

1

解：原式

1

(1 x) 解：原式 x(lnx 1)10

ferhgdth

2(1 x)

1210

2 1

lnlnx

2 k 1 11

2．解： dlnxdx 1 2(lnx)k1 k 2x(lnx)k(lnx)2 k 1 1 k

发散 k 1

ln1 k2

k 1

k 1

(ln2)1 xlnln2 (x 1) (ln2)1 x(ln2)1 x

令f(x) ，则f (x)

(x 1)2x 1x 1

111

为驻点，且1 x 1 时，f (x) 0；x 1 时，f (x) 0， lnln2lnln2lnln2

(ln2)1 k11所以k 1 时， 取得最小值。 dx

2k 1lnln2x(lnx)k

3.

解：

xe

2 2x2

dx

(2x)32

3

3 122 2x2

e

d2x2

3

()24．解：S

1

3

(3 x2 2x)dx

5．解：曲线y lnx在(x0,lnx0)点处的切线为y lnx0

1

(x x0)，则过原点的切线为x0

1x

y lne (x e)，即y

eeexe

故S ( lnx)dx

0e2

211

6．解：S (x 2)dx ln2

1x2864 22

7．解：V [2 (y)]dy

05

8．解：V 2

1

(2 x x)dx

2

4

3

52

21

习题四 定积分及其应用总习题

一、填空题

ferhgdth

2

1． 1 2． af(a) 3． xex etdt 4． 5． 6．k 0 7．

x

8*． 1

二、计算题

1．解：方程两边对x求导，得f(x) x2f(x) x

x1ttx2x2

故f(x) ，代入原方程有 dt tdt c 2220x1 t1 t21 x

11x2222

即ln(1 x) (1 ln2 x ln(1 x) c 222

那么c

1

(ln2 1) 2

x2 4 x 1

2．解：max(1,x2,x3) 1 1 x 1

x3 1 x 3

I max(1,x2,x3)dx x2dx 1dx x3dx 43

4

4

1

1

1

1lnt1

3．解：f() xdt，令t ，则

11 txu

3 113

1x1( 1)du xlnu f() 1u2 u1u2x1

u

ln

xxlntxlntln2x1lnt

故f(x) f() ( )dt dt lntdlnt

111 t12xt t2t

4*．解：令 t u，则f(x)

xsinusint

dt 0 t u

xsinu sinu

f(x)dx 2

0 0 uuu

x

5. 解：V

三、证明题

e 2xdx

2

1．证明：令t a b x，则2．证明：令x

b

a

f(a b x)dx f(t)dt f(t)dt f(x)dx

b

abb

aa

t，则 sinxdx sin( t)dt costdt 2 2cosntdt

00 2222

2

2

n

n

n

令t

u，则 sinxdx 2 2cosntdt 2 cosn( u)du

00222

n

ferhgdth

20

n

2 sinudu 2 2sinnxdx

3．证法一：对右边，由定积分的分部积分公式：

x

( f(u)du)dt [t f(u)du] td[ f(u)du] x f(u)du tf(t)dt

tt

x

xtxx

00

x f(u)du tf(t)dt x f(t)dt tf(t)dt f(t)(x t)dt 左边

xxxxx

证法二：交换二次积分的顺序：

(

xt

f(u)du)dt ( f(u)dt)du f(u)(x u)du f(t)(x t)dt

u

xxxx

4．证明：F (x)

f(x)x f(t)dt

x

02

x

f(x)x xf( )

，其中0 x a，（积分中值定理）

x2

又因为f (x) 0，即f(x)单调递减，故f(x) f( )，则F (x) 0，那么F(x)在(0,a)内单调减少。

习题五 微分方程的基本概念，一阶微分方程

一、单项选择题

1． C 2． C 3． D 4．D

二、填空题

1． 导数或微分 ， 常。 2．。 3．4． 5．y Ce x xe x。*6．12y。

2

2

三、计算题

1．求下列微分方程的通解：

（1）xy 2y 0 （2） x2y y2 解：y

2

y 0

x2

dx

x

y Ce

Cx2

arcsin y（3）

arscin x C

dy4x 3y

（4）y 2xy 6x dxx y

ferhgdth

y

dy 解：y e 2xdx(6xe 2xdxdx c) 解： dx1

x

ydydux令 u，则 3 Ce u x y xdxdx

du4 3u

即u x

dx1 u

4 3

2

u 1dx

du 2

(u 2)x

故通解为ln(y 2x)

x

C 0 y 2x

（5）

dyydy

6x （6） 2xy xy2 dxxdx

1

dx

x

解：y e

( 6xe

xdx

1

dx c) 解：

1dy1

2x x 2

ydxy

y x(6x C) 令

1du1dy

u，则 2

ydxydxdu

2xu x dx

2

11

u Ce x

y2

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

（1）解：e ydy exdx

ex ey C，又yx 0 0，则C 2，故特解为ex ey 2

（2）解：

1dy 1dydx

x y2，则x e ( y2e dy C) dy

x y2 2y 2 Cey，又xy 0 1，则C 3，故特解为x y2 2y 2 3ey

dx1C dx

（3）解：y y 2，则y ex( 2exdx C)，故y x ，

xx

1

1

又yx 1 2，则C 1，特解为y x 3．

1

x

解：设所求曲线方程为y f(x)，那么y 2x y，且f(0) 0，

ferhgdth

1dx 1dx

由y y 2x得y e (2xe dx C)，即y 2x 2 Cex

又x 0时，y 0，故C 2，所以y 2x 2 2ex 4.设f(x)可微且满足关系式

[2f(t) 1]dt f(x) 1，求f(x).

x

解：方程两边同时求导，得2f(x) 1 f (x)，解之，f(x) Ce2x 又

1 2

[2f(t) 1]dt f(0) 1，即f(0) 1故C

111

，那么f(x) e2x

222

习题六 可降阶的二阶微分方程，二阶常系数线性微分方程

一、选择题

1． A 2． D

二、填空题

1．y C1ex C2xex。2．y x4 C1x2 C2x C3。

43．y c1ex c2xex x 2 xexlnx。 4．y* (ax b)ex 5．y* acosx bsinx

2

2

3

二、求解题

1．求微分方程的通解。

(1)y xe x (2) y y x

解： y dx xe xdx 解：令y p，则y p ，即p p x

x

ep y xe x e x C1 e xp

x

x

x

x e

) C1

y dx ( xe e C1)dx ep (x 1e

y xe x 2e x C1x C2 y

2 求下列方程满足条件的特解 (1)y eaxy(0) y (0) y (0) 0

x x

ep xe

x

x

x

y x 1 C1e

12

x x C1ex C2 2

1ax

e C1x2 C2x C3，又y(0) y (0) y (0) 0 3a

11111211

故C1 ,C2 2,C3 3，那么y 3eax x 2x 3

2aaaa2aaa

解：y eaxdxdxdx

(2)y 25y 50，y(0) 5，y (0) 5

ferhgdth

解法一：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2 25 0，特征根r1,2 5i， 由于 i 0不是特征方程的根，故设特解为y* b，代入原非齐次方程得b 2， 于是原非齐次方程的通解为y C1cos5x C2sin5x 2，又y(0) 5，y (0) 5 则原非齐次方程的特解为y 3cos5x sin5x 2 解法二：令y p，则y

dpdydpdp p，故 p 25y 50，p2 25(4y y2) C1 dydxdydy

又y(0) 5，y (0) 5，那么C1

150，y p

所以

5x C，又y(0)

5，则C arcsin

，可化简为y 3cos5x sin5x 2 5x 特解为arcsin

3．求下列微分方程的通解：

(1)y 4y 0 (2)y 12y' 36y 0

解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为

r2 4r 0，特征根r1 0,r2 4 r2 12r 36 0，特征根r1 r2 6

于是通解为y C1 C2e4x 于是通解为y C1e 6x C2xe 6x (3)y 4y' 5y 0 (4)*y y' 0

解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为

r2 4r 5 0，特征根r1,2 2 i r3 r 0，特征根r1 0,r2,3 i

于是通解为y C1e 2xcosx C2e 2xsinx 于是通解为y C1 C2cosx C3sinx (5)y 2y' 3y 3x2 1 (6)2y y y 2ex

解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为r2 2r 3 0， 特征方程为2r2 r 1 0， 特征根r1 1,r2 3 特征根r1 1,r2

1

x2

1 2

于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为

y C1e C2e

x 3x

y C1e

x

C2e

ferhgdth

由于 0不是特征根， 由于 1不是特征根，

2x

y* ax bx cy* ke故设特解为， 故设特解为

代入原非齐次方程得a 1,b

41

,c 代入原非齐次方程得k 1 39

于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为

y C1e C2e

x 3x

1

x41 x

x x y C1e C2e2 ex

392

(7)y 6y 9y (x 1)e3x (8)y 4y xcosx

解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为r2 6r 9 0， 特征方程为r2 4 0， 特征根r1 r2 3 特征根r1,2 2i

于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为

y C1e3x C2xe3x y C1cos2x C2sin2x

由于 3是二重特征根， 由于 i i不是特征根，

23x*

y* x(ax b)ey故设特解为， 故设特解为 (ax b)cosx (cx d)sinx

代入原非齐次方程得a

1112

,b 代入原非齐次方程得b c 0,a ,d 6239

于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为

1112

y C1e3x C2xe3x x2(x )e3x y C1cos2x C2sin2x xcosx sinx

6239

(9)*y 3y 2y 2xsinx

解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2 3r 2 0，特征根r1 1,r2 2，

由于 i i不是特征方程的根，故设特解为y* (ax b)cosx (cx d)sinx，代入原非齐次方程得a ,b

3

51716

， ,c ,d

25525

3

5

1716

)cosx (x )sinx. 25525

于是原非齐次方程的通解为y C1e x C2e 2 ( x 4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y 2y' 3y 0，yx 0 3，y'x 0 1

解：所给齐次方程的特征方程为r2 2r 3 0，特征根r1 1,r2 3 于是通解为y C1ex C2e 3x，又yx 0 3，y'x 0 1，代入得C1

51

,C2 ， 22

ferhgdth

故特解为y

5x1 3xe e 22

y (0) 1

（2）y y 4xex,y(0) 0

解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2 1 0，特征根r1 1,r2 1，

由于 1是特征方程的单根，故设特解为y* x(ax b)ex，代入原非齐次方程得a 1,b 1，于是原非齐次方程的通解为y C1ex C2e x x(x 1)ex， 又y(0) 0

y (0) 1，代入得C1 1,C2 1，故特解为y ex e x x(x 1)ex

5．试求y x的经过点M(0,1)且在此点与直线y

x

1相切的积分曲线 2

x3x

解：y xdxdx C1x C2，又经过点M(0,1)，故C2 1，且在此点与直线y 1相切，

62x3111

则y (0) ，那么C1 ，所以y x 1

6222

6．设函数y(x)连续，且y

x

y(t)dt，求y。

x

解：原方程两边对x求导，得y y，解之得y Ce，但代入后C 0

习题七 常微分方程总习题

一、填空题

1．3。2．y Ce x 3x。3．(ax b)ex。 4． y y 2y 0。

二、求解题

1．求下列微分方程的通解： （1）dx (2xy y)dy 0

解：

1

dx ydy 0 2x 111

ln(2x 1) y2 lnC 22

21

x Ce y

2

（2）y 2y 3y x 1

解：由 r3 2r2 3r 0 有 r 0, 3,1

ferhgdth

则Y C1 C2e 3x C3ex

2

设 y Ax B为方程的特解有xy

125

x x 69

则通解为y C1 C2e 3x C3ex

125x x 69

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y y 6ex，yx 0 6，y x 0 3

解：由 r2 1 0 有 r 1

则 Y C1e x C2ex

则通解为y C1e x C2ex 3xex

又yx 0 6，y x 0 3 则y 3e x 3ex 3xex

（2）y 9y 8cosx，yx 0 1，y x 0 1

解：由 r2 9 0 有 r 3i

则 Y C1cos3x C2sin3x

Bsinxy cosx 设 y Acosx为方程的特解有

则通解为y C1cos3x C2sin3x cosx

又yx 0 1，y x 0 1 则y sinx cosx 3．设函数 (x) ex

x

x0

1

3

x0

t (t)dt x (t)dt, 求 (x)

0x0

x

解：由 (x) e t (t)dt x (t)dt 有 (0) 1

x

(x) e

x0

1 (t)d t (0)

x

)e (x) (x 则 r i Y C1cosx C2sinx

x

设 y Ae为方程的特解有y

1x

e2

则通解为y C1cosx C2sinx

1xe2

ferhgdth

又 (0) 1 (0) 1 则y

111

cosx sinx ex 222

4．该可导函数 (x)满足 (x)cosx 2

x0

x0

(t)sintdt x 1求 (x)

解： (x)cosx 2 (t)sintdt x 1 有 (0) 1

(x)cosx (x)sinx 1

1 (x) (x) tanx C 2x coxscosx cos

(x) sinx Ccosx (x) sinx cosx 5．设二阶常系数线性方程y y y ex的一个特解为y e2x (1 x)ex，试确定常数 , , 并

求该方程的通解。

4 2 0

解：代入有 3 2 解之有 3 2 1

1 0

又 r2 3r 2 0 有 r 1,2 则通解为y C1e2x C2ex xex [y (e2x ex) e2x (1 x)ex xex] 6．设y1 x，y2 x e2x，y3 x(1 e2x)

是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求微分方程的通解及该方程。

解：通解为y C1(y2 y1) C2(y3 y1) y1 (C1 C2x)e2x x

则该方程为 y 4y 4y f(x) 因 y x 有f(x) 4x 4

则该方程为 y 4y 4y 4x 4 一般解：由 y (C1 C2x)e2x x ①

有 2C1e2x C2(1 2x)e2x y 1 ② 及 4C1e2x 4C2(1 x)e2x y ③

1 2x

C e(4y 4 4xy 4x y 2xy )1 4

由②③解之有

C 1e 2x(y 2y 2)2 2

ferhgdth

代入①有y 4y 4y 4x 4

7 求y 6y 9y 0满足y (0) 2, y(0) 2的特解

解：由 r2 6r 9 0 有 r12 3

则 y (C1 C2x)e3x 又y (0) 2, y(0) 2 则y 2e3x 8．求

tdy

e (t u)y(u)du 1满足y(0) 0的特解

0dt

解：由y e (t u)y(u)du 1 有y (0) 1

t

及y y y 1

由 r2 r 1 0 有

r12

1 2

则

Y C1 C2通解为y C1 C2 1

又y (0) 2, y(0) 2

1则y 2

1 2

1

9．已知常系数齐次线性方程的特征根为r1 3,r2 2,试确定该微分方程

解：由 r1 3,r2 2

有 r2 r 6 0

则该微分方程为 y y 6y 0

习题八 常数项级数的概念和性质

一、选择题

1． （B）2．（A、D）3．（A、C）

二．填空题

ferhgdth

1．

51 2． 35

三．用定义判别下列级数的敛散性： 1．

(

n 1

n 1 n)

解： sn (2 1) ( 2) (n 1 n)

n 1 1

n

limsn lim(n 1 1)

n

级数

(

n 1

n 1 n)发散。

2．

1111 1 33 55 7(2n 1)(2n 1)

解： sn

111

1 33 5(2n 1)(2n 1)

11111111(1 ) ( ) ( ) 2323522n 12n 111

(1 )

22n 1

111

limsn lim(1 )

n n 22n 12

级数

1

收敛。 n 1(2n 1)(2n 1)

四．判定下列级数的收敛性

n

88283n81． 2 3 ( 1)n 9999

解：这是几何级数，公比q q

8

9

8 1 9

n

8n

级数 ( 1)n收敛

9n 1