复 数

知识点一：复数的基本概念 1．虚数单位: （1）

；

的一个根，方程

的另

（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程一个根是

；

（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数. 设

，

（a，b，c，d∈R）

（4）的周期性：

，1 i

，1 i

，（）.

2

（5） (1 i) 2i； 1 i i;1 i i;

（6）复数Z的模

2. 概念形如

（

）的数叫复数，记作：（）；

其中：叫复数的实部，叫复数的虚部. 3．复数的分类

（

当且仅当当且仅当

）时，复数时，复数

是实数； 叫做虚数；

当且仅当

当且仅当

且时，复数时，复数

叫做纯虚数； 就是实数0.

表示；

复数集与其它数集之间的关系：

4．复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母

5．复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.特别地: 说明：（1）

.

（2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.

（3）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

6．共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数.

复数

的共轭复数记作：

知识点二：复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数

（

）可用点

表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫

轴叫做实轴

，

轴叫做虚轴.

（

）.

做复平面，也叫高斯平面，

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C

和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数面内的点

复平

每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，

有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即

几何表示方法.

2．复数的几何表示

（1）坐标表示:在复平面内以点（2）向量表示:以原点 向量理解： （1）向量

与点

以及复数

一一对应；

为起点，点

表示复数

为终点的向量

.即（

）；

表示复数

. .

的长度叫做复数的模，记作

（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.

历年高考试题：

(2015年文科新课标1卷）3、已知复数z满足(z 1)i 1 i，则z （ ） （A） 2 i （B） 2 i （C）2 i （D）2 i (2015年文科新课标2卷)2、若为a实数，且A． 4 B． 3 C．3 D．4

2 ai

3 i，则a 1 i

z

(2014年文科新课标1卷）3、设

1 i

1 i，则|z|

231

A. 2 B. 2 C. 2 D. 2

1 3i

1 i( 2014年文科新课标2卷)2、

（A）1 2i （B） 1 2i （C）1-2i (D) 1-2i

1 2i

2

1 i (2013年文科新课标1卷)2、 ＝( )．

1111

1 i 1+i1+i1 i

2 B．2 C．2 D．2 A．

2

(2013年文科新课标2卷)2、 1 i＝( )．

A

．．2 C

．1

－3+i

(2012年文科新课标卷)2、复数z＝2+i的共轭复数是 （A）2+i （B）－1－i （C）－1+i （D）2－i

5i

1 2i (2011年文科新课标卷)2．复数

A．2 i C． 2 i

B．1 2i D． 1 2i

z

(2010年文科新课标卷)3

、已知复数

，则z=

11

(A)4 （B）2 （C）1 （D）2 3 2i

2 3i(2009年文科新课标卷)2． 复数

A．1 B． 1 C．i (D) i

z2

z 1 iz 1(2008年文科新课标卷）3、已知复数，则（ ）

A. 2

B. －2 C. 2i D. －2i

23

(2007年文科新课标卷）15．i是虚数单位，i 2i 3i 8i8 ．（用a bi的

形式表示，a，b R）