复习.对数函数的图象和性质：图 a >1y =log a x

0< a < 1x=1

( a>1)(1,0)

象

0

(1,0)

0y =log a x

x=1

(0< a<1)

1 定义域 0, , 值域为R性

2 恒过点 1, 0 ,即当x 1时, y 0 3 当x 1时, y 0当0 x 1时, y 0

3 当x 1时, y 0当0 x 1时, y 0

质

4 在 0, 上是增函数

4 在 0, 上是减函数

(5) 随着a增大，在第一象限内，绕着点(1,0)顺时针旋转

求函数y=log2x(1≤x≤8)的值域是( ) A.R B.[0,+∞) C.(-∞,3] D.[0,3] 答案：D

1 f ( x ) log 2 x

x [1,2]

2 f ( x ) log a x2 3

x [1,2]

(3) y log 1 ( x 4 x 5)

【例】 已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2 +f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值. 思路分析：要求函数y=[f(x)]2 +f(x2)的最大值，要 做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定 义域.

【例】 已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的 最大值，及y取最大值时x的值.解：∵f(x)=2+log3x, ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2 =(2+log3x) +2+2log3x =(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3. ∵函数 f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数 y=[f(x)]2+f(x 2)有意义， 就需 1≤x 2≤9 1≤x≤9. ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,2

∴6≤y=(log3x+3)2-3≤13. 当 log3x=1 即 x=3 时，y=13. ∴当 x=3 时，函数 y=[f(x)]2+f(x 2)取最大值 13.

温馨提示：本例正确求解的关键是：函数y=[f(x)]2 +f(x2)定义域的正确确定.如果我们误认为[1,9]是 它的定义域.则将求得错误的最大值22.因此对复合 函数的定义域的正确确定(即不仅要考虑内函数的定 义域，还要考虑内函数的值域是外函数定义域的子 集),是解决有关复合函数问题的关键.

含有对数式的函数最值问题一般首先考虑函数的定 义域，在函数定义域的制约之下对数式就在一定的 范围内取值，问题利用换元法往往就转化为一个函 数在一个区间上的最值问题.

2 2 log x (1) y (log x) 3 3x x 2 f ( x) (log 2 )(log 2 ) ( 2 x 8) 2 4

例：已知集合A={x|2≤x≤π},定义在集合A上 的函数y=logax的最大值比最小值大1,求a 的值.解：(1)当 a>1 时，由题意得 logaπ-loga2=1,所 π π π 以 a= ,∵ >1,∴a= 符合题意. 2 2 2 2 2 (2)当 0<a<1 时，loga2-logaπ=1,a= .∵0< <1, π π 2 ∴a= 符合题意. π π 2 综上所述，所求 a 的值为 a= ,或 a= . 2 π

练习 1:设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最 1 大值与最小值之差为 ，则 a=( 2 )

A. 2

B.2

C.2 2

D.4

解析：∵a>1,∴f(x)=logax 在[a,2a]上 递增， 1 1 ∴loga(2a)-l

ogaa= ,即 loga2= , 2 21

∴a2 =2,a=4.

答案：D

练习2.函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在[2,3] 上的最大值为1,则a=________. 解析：当a>1时，f(x)的最大值是f(3)=1, 则loga3=1,∴a=3>1. ∴a=3符合题意； 当0<a<1时，f(x)的最大值是f(2)=1,则loga2 =1,∴a=2>1.∴a=2不合题意. 答案：3

思悟升华 1.与对数函数有关的复合函数单调区间的 求法 求与对数函数有关的复合函数的单调区间， 首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成 的，再按“同增异减”的方法来求其单调 区间.

2.对于对数型复合函数的综合应用的题目， 无论是求最值还是求参数的取值范围，必 须抓住两点：一是先求出原函数的定义域， 二是在定义域内求出函数的单调区间，然 后由函数的单调性求出其最值或参数的取 值范围.此外在解题过程中一定要注意数 形结合方法的灵活应用.

由于对数函数y=logax的图象和性质与底数a 的取值范围密切相关.当a>1时，函数y= logax在定义域内为单调增函数，当0<a<1时， 函数y=logax在定义域内为单调减函数，因此 当题目条件中所给的对数函数的底数含有参 数时，常依底数的取值范围为分类标准进行 分类讨论求解.

思考题：1、若函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是实数集R, 求实数a的取值范围。 2、若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R, 则实数 a的取值范围。 解:1 ∵ y=lg(ax2+ax+1)的定义域是R ∴ 在R上ax2+ax+1>0恒成立, ∴ a=0 a>0 ⊿=a2-4a<0

1>0

或

∴ 0≤a<4

思考题：1、若函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是实数集R, 求实数a的取值范围。 2、若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R, 则实数 a的取值范围。 解:2 设u=ax2+ax+1 ∵ y=lg(ax2+ax+1)的值域是R ∴区间(0,+∞)是函数u=ax2+ax+1 的值域 的子区间. a>0 ∴ a≥4 ∴当a=0时, u=1 (不合题意) 或 ⊿=a2-4a≥0