2011届高考数学复习课件：导数的应用(2)(文)

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1 2 的单调递增、递减区间; 求函数 2 x -2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减区间 (2)当 x∈[-1, 2] 时, f(x)<m 恒成立 求实数 m 的取值范围 恒成立, 的取值范围. 当 ∈设 f(x)=x3解: (1)由已知 f′(x)=3x2-x-2, 由已知 令 f′(x)<0 得 - 2 <x<1; 令 f′(x)>0 得 x<- 2 或 x>1. -3 3 ∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- 2 , 1); -3 2 单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞). ∞ (2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 命题等价于 2 令 f′(x)=0 得 x=- 3 或 1. 22 2 1 1 ∵f(-1)=5 2 , f(- 3 )=5 27 , f(1)=3 2 , f(2)=7, ∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7. ∞ ∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).

导数的应用举例 1

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导数的应用举例 2时取得极值, 已知函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 仅当 x=-1, x=1 时取得极值 且 的值. 极大值比极小值大 4, 求 a, b 的值 取得极值, 解: ∵f′(x)=5x4+3ax2+b, 又当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值 ∴f′(1)=f′(-1)=0. 即 5+3a+b=0. ∴b=-3a-5. ① - 代入 f′(x) 得, f′(x)=5x4+3ax2-3a-5=(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)]. 取得极值, ∵仅当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值 ∴5x2+(3a+5)≠0 恒成立 ∴3a+5>0. ∴x>- 5 . ≠ 恒成立. -3 故当 x<-1 或 x>1 时, f′(x)>0; 当 -1<x<1 时, f′(x)<0. 取得极大值; 取得极小值. ∴当 x=-1 时, f(x) 取得极大值 当 x=1 时, f(x) 取得极小值 - ∵函数 f(x) 的极大值比极小值大 4, ∴f(-1)-f(1)=4. 即 (-1-a-b+1)-(1+a+b+1)=4. 整理得 a+b=-3. ② - - 由 ①, ② 得 a=-1, b=-3. 故 a, b 的值分别为 -1, -3.

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设函数 f(x)=- 1 x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调 -3 求函数 区间、极值; 区间、极值 (2)若当 x∈[a+1, a+2] 时, 恒有 |f′(x)|≤a, 试确定 a 若当 ∈ 的取值范围. 的取值范围 解: (1)由已知 f′(x)=-x2+4ax-3a2, 令 f′(x)=0 得 x=a 或 x=3a. 由已知 ∵0<a<1, ∴a<3a. 变化时, 的变化情况如下表: 当 x 变化时 f′(x), f(x) 的变化情况如下表 x (-∞, a) a (a, 3a) 3a (3a, +∞) 0 0 f′(x) + f(x) 极小值 极大值 由上表可知, 由上表可知 f(x) 的单调递增区间是 (a, 3a), 单调递 减区间是(减区间是 -∞, a) 和 (3a, +∞). 4 3 当 x=a 时, f(x) 取极小值 f(a)=- 3a +b; 当 x=3a 时, f(x) 取极大值 f(3a)=b.

导数的应用举例 3

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设函数 f(x)=- 1 x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调 -3 求函数 区间、极值; 区间、极值 (2)若当 x∈[a+1, a+2] 时, 恒有 |f′(x)|≤a, 试确定 a 若当 ∈ 的取值范围. 的取值范围 解: (2)∵0<a<1, ∴2a<a+1. ∵ 上为减函数. ∴f′(x)=-x2+4ax-3a2 在 [a+1, a+2] 上为减函数 ∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1, f′(x)min=f′(a+2)=4a-4. ∵当 x∈[a+1, a+2] 时, 恒有 |f′(x)|≤a, 即 ∈ 恒成立. -a≤f′(x)≤a 恒成立 ∴4a-4≥-a 且 2a-1≤a. 4 解得 5 ≤a≤1. 又 0<a<1, 故 a 的取值范围是 [ 4 , 1). 5

导数的应用举例 3

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导数的应用举例 4处取得极值, 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得

极值 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(-1, 2). 若曲线 f(x) 在点 P 处的切线与直线 y=2x 的夹角为45° 且倾角为钝角. 的解析式; 的夹角为 °, 且倾角为钝角 (1)求 f(x) 的解析式 (2)若 f(x) 在 求 若 递增, 的取值范围. 区间 [2m-1, m+1] 递增 求 m 的取值范围 过原点, 解: (1)∵曲线 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 过原点 ∴ f(0)=0 d=0. ∵ ∴f(x)=ax3+bx2+cx, f′(x)=3ax2+2bx+c. 处取得极值, ∵函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=0 处取得极值, ∴f′(0)=0 c=0. ∵过点 P(-1, 2) 的切线斜率为 f′(-1)=3a-2b, 而曲线 f(x)在 在 的夹角为45° 且倾角为钝角, 点 P 的切线与直线 y=2x 的夹角为 °, 且倾角为钝角 2-f′(-1) - ∴| 1+2f′(-1) |=1 且 f′(-1)<0. 解得 f′(-1)=-3. 又 f(-1)=2, - ∴3a-2b=-3 且 -a+b=2. 解得 a=1, b=3. ∴f(x)=x3+3x2.

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导数的应用举例 4处取得极值, 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(-1, 2). 若曲线 f(x) 在点 P 处的切线与直线 y=2x 的夹角为45° 且倾角为钝角. 的解析式; 的夹角为 °, 且倾角为钝角 (1)求 f(x) 的解析式 (2)若 f(x) 在 求 若 递增, 的取值范围. 区间 [2m-1, m+1] 递增 求 m 的取值范围 解: (2)由(1)知 f′(x)=3x2+6x. 又由 f′(x)>0 x<-2 或 x>0, 由 知 ∴f(x) 的单调递增区间为 (-∞, -2] 和 [0, +∞). ∞ 递增, ∵函数 f(x) 在区间 [2m-1, m+1] 递增 ∴[2m-1, m+1] (-∞, -2] 或 [2m-1, m+1] [0, +∞). ∞ ∴2m-1<m+1≤-2 或 m+1>2m-1≥0. 1 解得 m≤-3 或 2 ≤m<2. 1 的取值范围是(即 m 的取值范围是 -∞, -3]∪[ 2 , 2). ∪

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导数的应用举例 5已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函 若 ∞ 的取值范围; 的极值点, 数, 求实数 a 的取值范围 (2)若 x=- 1 是 f(x) 的极值点 求 f(x) 若 -3 上的最大值; 的条件下, 在 [1, a] 上的最大值 (3)在(2)的条件下 是否存在实数 b, 使得 在 的条件下 的图象恰有三个交点, 若存在, 函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点 若存在 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 求出实数 b 的取值范围 若不存在 请说明理由 解: (1)由已知 f′(x)=3x2-2ax-3. 由已知 ∵f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函数 ∞ 上是增函数, ∴在 [1, +∞) 上恒有 f′(x)≥0, ∞ 即 3x2-2ax-3≥0 在 [1, +∞) 上恒成立 ∞ 上恒成立. 由于 f′(0)=-3<0, 则必有 a ≤1 且 f′(1)=-2a≥0. 解得 a≤0. 3 故实数 a 的取值范围是 (-∞, 0]. -

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(2)由题设 f′(- 1 )=0, 即 1 + 2 a-3=0. 解得 a=4. 由题设 - 3 3 3 ∴f′(x)=3x2-8x-3. 令 f′(x)=0 得 x=- 1 或 3. -3 变化时, 的变化情况如下表: 在 [1, 4] 上, 当 x 变化时 f′(x), f(x) 的变化情况如下表 x f′(x) f(x) 1 -6 (1, 3) 3 0 -18 (3, 4) + 4 -12

∴f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=-6. (3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点 的图象恰有三个交点, 函数 恰有三个不等实根. 即方

程 x3-4x2-3x=bx 恰有三个不等实根 是方程的一个根, ∵x=0 是方程的一个根 有两个非零不等实根. ∴方程 x2-4x-3=b 即 x2-4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根 ∴△=16+4(3+b)>0 且 3+b≠0. 解得 b>-7 且 b≠-3. ≠ ≠ 故实数 b 的取值范围是 (-7, -3)∪(-3, +∞). ∪∞

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导数的应用举例 6已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在点 x=1 处有极小值 -1, 试确 的值, 的单调区间. 定 a, b 的值 并求出 f(x) 的单调区间 由已知可得: 解: 由已知可得 -1=f(1)=1-3a+2b, 即 3a-2b=2. ① 又 f′(x)=3x2-6ax+2b, 0=f′(1)=3-6a+2b, 即 6a-2b=3. ② 由 ①, ② 解得 a= 1 , b=- 1 . -2 3 ∴f′(x)=3x2-2x-1. 1 由 f′(x)=0 得, x=1 或 - 3. 1 1 ∴当 x<- 3 或 x>1 时, 有 f′(x)>0; 当 - 3 <x<1 时, 有 f′(x)<0. 1 故 f(x) 的单调递增区间是 (-∞, - 3 ) 和 (1, +∞); ∞ 1 , 1). f(x) 的单调递减区间是 (- 3 -

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已知 f(x)=x2+c, 且 f[f(x)]=f(x2+1). (1)设 g(x)=f[f(x)], 求 g(x); 设 (2)设 (x)=g(x)-λf(x), 试问 是否存在实数 λ, 使 (x) 在(-∞, -1) 试问: 设 内为减函数, 内是增函数. 内为减函数 且在 (-1, 0) 内是增函数 解: (1)∵f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=(x2+1)2+c. ∵ ∴由 f[f(x)]=f(x2+1) 得, c=1. ∴f(x)=x2+1, g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2. +2(2) (x)=g(x)-λf(x)=x4+2x2+2-λ(x2+1)=x4+(2-λ)x2+2-λ. (x)=g(x)+2+1)=x +(2∴ ′(x)=4x3+2(2-λ)x =2x(2x2+2-λ). 内为减函数, ∵ (x) 在 (-∞, -1) 内为减函数 内恒成立. ∴ ′(x)<0 在 (-∞, -1) 内恒成立 内恒成立. 即 2x2+2-λ>0 在 (-∞, -1) 内恒成立 内恒成立. ∴λ-2<2x2 在 (-∞, -1) 内恒成立 ∵当 x∈(-∞, -1) 时, 2x2>2(-1)2=2, ∈∴λ-2≤2. ∴λ≤4. ①

导数的应用举例 7

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内为增函数, 又∵ (x) 在 (-1, 0) 内为增函数 内恒成立. ∴ ′(x)>0 在 (-1, 0) 内恒成立 内恒成立. 即 2x2+2-λ<0 在 (-1, 0) 内恒成立 内恒成立. ∴λ-2>2x2 在 (-1, 0) 内恒成立 ∵当 x∈(-1, 0) 时, 2x2<2(-1)2=2, ∈∴λ-2≥2. ∴λ≥4. ② 由 ①, ② 知 λ=4. 满足题设条件. 故存在实数 λ, 其值为 4, 使 (x) 满足题设条件

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导数的应用举例 8已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a, b∈R). (1)若 a=1, 函数 f(x) 的图象 ∈ 若 的下方? 说明理由; 若函数 能否总在直线 y=b 的下方 说明理由 (2)若函数 f(x) 在 [0, 2] 上 是增函数, 的一个根, 求证: 是增函数 x=2 是方程 f(x)=0 的一个根 求证 f(1)≤-2; (3)若曲 若曲 的取值范围. 线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于 1, 求 a 的取值范围 (1)解: 当 a=1 时, 令 x=-1 得 f(-1 )=1+1+b=2+b>b, 解 在函数图象上, 的上方. ∴点(-1, 2+b)在函数图象上 且在直线 y=b 的上方 在函数图象上 且在直线 ( ) = 的下方. ∴函数 f(x) 的图象不能总在直线 y=b 的下方. 另解: 当 a=1 时, f(x)=-x3+x2+b, f′(x)=-3x2+2x. 8 4 2 令 f′(x)=0 得 x1=0, x2= 3 . 而 f( 2 )=- 27 + 4 +b= 27 +b>b, 9 3 2 4 在函数图象上, 且在直线 的上方. ∴点 ( 3 , 27 +b)

在函数图象上 且在直线 y=b 的上方 的下方. ∴函数 f(x) 的图象不能总在直线 y=b 的下方

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导数的应用举例 8已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a, b∈R). (1)若 a=1, 函数 f(x) 的图象 ∈ 若 的下方? 说明理由; 若函数 能否总在直线 y=b 的下方 说明理由 (2)若函数 f(x) 在 [0, 2] 上 是增函数, 的一个根, 求证: 是增函数 x=2 是方程 f(x)=0 的一个根 求证 f(1)≤-2; (3)若曲 若曲 的取值范围. 线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于 1, 求 a 的取值范围 (2)证: ∵x=2 是方程 f(x)=0 的一个根 的一个根, 证 ∴f(2)=0 即 -8+4a+b=0 b=8-4a. 又 f′(x)=-3x2+2ax, 令 f′(x)=0 得 x1=0, x2= 2 a. 3 上是增函数, ∵函数 f(x) 在 [0, 2] 上是增函数 2 ∴ 3 a≥2. ∴a≥3. ∴f(1)=-1+a+b=7-3a≤-2, 即 f(1)≤-2.

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已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a, b∈R). (3)若曲线 f(x) 上任意不同 ∈ 若曲线 的取值范围. 两点的连线的斜率小于 1, 求 a 的取值范围 (3)解: 设 P(x1, y1), Q(x2, y2) 为曲线 y=f(x) 上任两点 x1≠x2. 上任两点, 解 ∵曲线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于 1, y1-y2 -x13+ax12+b-(-x23+ax22+b) -<1, ∴ x -x <1, 即 x1-x2 1 2 -(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1-x2)(x1+x2) <1 恒成立 恒成立. 亦即 x1-x2 ∵x1≠x2, ∴x1x2<1+(x1+x2)2-a(x1+x2) 恒成立 恒成立. 1 恒成立, 而 x1x2< 4 (x1+x2)2 恒成立 ∴1+(x1+x2)2-a(x1+x2)≥ 1 (x1+x2)2 恒成立. 恒成立 4 3 (x +x )2-a(x +x )+1≥0 恒成立 恒成立. ∴4 1 2 1 2 ∴a2-3≤0. ∴- 3 ≤a≤ 3 .

导数的应用举例 8

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导数的应用举例 8已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a, b∈R). (3)若曲线 f(x) 上任意不同 ∈ 若曲线 的取值范围. 两点的连线的斜率小于 1, 求 a 的取值范围 上任两点, 另解: 设 P(x1, y1), Q(x2, y2) 为曲线 y=f(x) 上任两点 不妨 x1<x2. ∵曲线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于 1, y1-y2 ∴ x -x <1, ∵x1<x2, ∴x1-x2<0. ∴y1-y2>x1-x2. 1 2 即 f(x1)-f(x2)>x1-x2. ∴f(x1)-x1>f(x2)-x2. 记 g(x)=f(x)-x, 则 g(x1)>g(x2). 上的减函数. ∴g(x) 为 R 上的减函数 ∴g′(x)≤0 即 -3x2+2ax-1≤0 对 x∈R 恒成立 ′ ∈ 恒成立. ∴a2-3≤0. ∴ - 3 ≤ a≤ 3 .