变化率问题的说课及讲课全记录

《变化率问题》教学设计

一、教学设计说明 1． 教材分析

本课是人教版高中数学选修2-2第一章第一节的第一课时的内容，其基本内容是平均变化率的概念。我们知道函数在高中数学有着不可忽视的地位，并且导数是研究函数的重要工具及手段，而平均变化率直观的帮助学生了解导数概念的实际背景及几何意义，进而有利于学生更好的学习瞬时变化率——导数，可以说，这一节起到了承上启下的作用。

2． 学情分析

本节课的教学对象为高二年级理科生，在物理中，学生已学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念，这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想，同时学生又具备了一定的函数知识与解析几何知识，这些都有利于本节课的顺利进行。平均变化率对于学生来说既陌生又熟悉，熟悉是因为现实生活中有大量问题涉及到平均变化率，所以说它是实践性很强的内容。但是学生没有明确的系统的学习过平均变化率，不知道他的精确定义及内涵。由于学生通过自己的亲身体验，亲自去解释生活中的一些问题，才能体会到平均变化率的基本思想。因此需要学生具有高度的概括能力和深刻的思维能力，对学生的思维是一次挑战，因此，平均变化率的理解与转化是本节课的难点。

二、 教案

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教学重点 教学难点

平均变化率的概念和意义。 如何从数学的角度描述现实生活中变量变化的快慢，即如何构建平均变化 率的概念。 启发式讲解、互动式讨论、归纳发现等授课方式，充分发挥学生的主体地

教学方法 位。 教学媒体 多媒体。

课 堂 教 学 过 程多媒体 学生活动 教师活动 设计意图

一、创设情境、引入课题 创设情境、 ppt: 创 设 请看雅典奥运会上刘翔奋力 情 拼搏的雄姿(观看视频) 境 思考： 、 问题1:他是不是每秒钟都跑了 引 入 课 题 你能帮助他的教练分析他

各阶段 的平均速度吗？ 二、总结规律，归纳新知 总结规律， ppt: 归纳： 归纳： 物理中平均速度的概念延 伸到数学中一般函数的函数值变 化的快慢问题。 问：你能总结出函数平均变化率 的一般定义吗？ 形成概念： 形成概念：平均变化率的概念一般地，对于函数

问题情境： 问题情境 学生：观看视频， 学生： 积极思考， 互相讨 论。 教师: 引导学生观 教师: 察整个过程的平 均速度与直线斜 率的关系。

问题情境的创 设贴近生活，能够 激起学生探究激 情。

8.52m 呢？ 问题2:通过观察速度变化曲线，

学生： 教师： 引领学生由 学生：一起总结， 教师： 理解含义， 大胆尝 物 理 中 平 均 速 度 试，给出定义。 过渡到数学的中 知识，进而让学生 尝试归纳出平均 变化率的定义，步 入新课。

让学生经历 如 何从数学的角度描 述现实生活中变量 变化的快慢这个过 程，即让学生自主 构建平均变化率的 概念。

f (x) ,把式子1

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f ( x 2) f ( x1) f = x 2 x1 x称为函数 率。 简 记 ：

f (x) 从 x1 到 x2 的平均变化x 2 x1 = x,

f ( x 2) f ( x1) = f数 形 结 合 ， 归 纳 新 知 问题情境： 问题情境 某市 2011 年 3 月 18 日，4 月 18 日， 月 20 日得日最高气温如表， 4 气温变化曲线如图。 问：你对这两个时段内的气温变 化有什么样的感受？ 实例 1: 甲和乙两人做生意，甲挣了 10 万 元，乙挣了 2 万元。甲、 乙两人 谁的经营成果更好？ 甲和乙两人做生意，甲用 5 年时 间挣到 10 万元， 乙用 5 个月时 间挣到 2 万元，甲、 乙两人谁的 经营成果更好？ 实例 2: 某婴儿从出生到第 12 个月的体重 变化如图所示，试分别计算从出 生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率。 实例 3: 国家环保局在规定排污达标日期 前，对甲、乙两企业进行检查， 其连续检测结果如图所示，试比 较两个企业的治污效果。 三、深入剖析，数形结合 深入剖析， 学生： 学生：观察图像 ， 积极思考， 大胆 猜测。 教师： 教师 引导学生从 图形角度思考， 在 数与形两个角度 分析变化率问题 问题情境： 与现实生 活贴切， 让学生理解 数 学 来 源 于 生 活又 服务于生活。 让学生 得 出 平 均 变 化 率是 学生：分组讨论， 教师 解释实例意 曲 线 陡 峭 程 度 的数 学生 教师： 帮助学生理解 量化， 积极思考， 交流体 义， 真正体会了数 生活实例。 会。 形结合的思想过程。 教师：提出问题， 教师 让学生找出平均 变化率的实际意 义。 实例： 通过用所学过 的 数 学 知 识 平 均变 化 率

去 解 释 生 活中 的现象， 让学生真正 理 解 它 的 实 际 意义 和数学意义。

教师： 强调 教师 点拨， 归纳思想。

四、巩固练习、深刻理解 巩固练习、

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应 用 新 知 ， 归 纳 总 结

例 1、已知函数 f(x)=2x+1, 学生： 学生：思考作答。 g(x)=-2x ,分别计算在区间[-3-1], [0,5]上 f(x)及 g(x) 的平均变化 率. 思考:一次函数 y=kx+b 在区间 [m,n]上的平均变化率有什么特 点？ 2 例 2 、已知函数 f(x)=x -x,求： 在区间求[1,2]和区间[2,3]上的 平均变化率 问：你能总结出计算平均变化率 的步骤吗？ 的步骤吗？

教师： 教师：总结并让学 生反思，解决认知 冲突，并引导学生 利用平均变化率代 表公式。

让学生反复应 用定义，从而深刻 理解定义本质，记 忆定义，并且自己 总结出计算步骤。

五、课堂小结 课堂小结 进一步达到 情感态度价值观 请同学们总结这节课都有哪 些收获？ 学生： 总结所学知 学生： 识。 教师：总结数学思 教师： 想方法数与形的完 美结合，进行情感 教育 目标，总结本节课 所用到的数学思 想方法，是本课的 升华。 课外学习 2 例 3、已知函数 f(x)=x ,分别计算 f(x)在下列区间上的平均变化率： 课 外 探 究 (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]. (5)[0.9,1]; (6)[0.99,1]; (7)[0.999,1]. 课后思考:为什么趋近于 2 呢？2 的几何意义是什么？ 通过本节课所 学知识，对曲线段 的平均变化率即斜 率的理解及对平均 变化率的一般计算 步骤的进一步应 用。且引出下节课 所学知识——瞬时 变化率(导数) 。

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1.1.1 变化率问题 平均变化率1、 定义： 一般地，对于函数 注： 几何意义:过两端点直线的 1) 斜率。 2)陡峭程度 平均变化率的

f (x) ,把式子

3、 例 1: (1) (2) 例2

绝对值 3)一次函数 y = kx + b 在任 意区间上的平均变化率都是 常数 k 2、计算步骤： (1)明确所求区间 (2)求函数值的增量 (3)计算比值：平均变化率

板 书 设 计

f ( x 2) f ( x1) f = x x 2 x1称为函数 变化率。 简 记 ：

f (x) 从 x1 到 x2 的平均x 2 x1 = x,

f ( x 2) f ( x1) = f

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