高等数学 第一章函数与极限习题课

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第一章 函数与极限习题课Ⅰ 数列与函数的极限

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一、数列极限1.数列极限的定义lim x n a n

0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒有 x n a .

几何解释:

a x 2 x1x N 1

2

a x N 2

a

x3

x

当 n N 时 , 所有的点 只有有限个

x n 都落在 ( a , a ) 内 ,

( 至多只有 N 个 ) 落在其外 .

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2.数列极限的运算法则( 1 ) lim ( ax n by n ) a lim x n b lim y n aA bBn n n

( 2 ) lim ( x n y n ) lim x n lim y n ABn n n

( 3 ) lim

xn yn

n

lim x nn

A B

( B 0时 )

lim y nn

3.数列极限的主要性质( 1 ) 有界性：若 lim x n A , 则 M 0 , 使得 | x n | Mn

( 2 ) 唯一性：若

lim x n A , lim x n B ,则 A Bn n

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4.数列极限的存在准则( 1 ) 夹逼准则：若 y n x n z n , lim y n A , lim z n An n

则 lim x n An

( 2 ) 单调有界收敛原理

x n x n 1 , x n M lim x n An

x n x n 1 , x n M lim x n An

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二、函数的极限1.函数极限的定义 2.函数的左右极限

x x0

lim f ( x ) A

lim f ( x ) Ax

左极限: 0 , 0 , 使当 x 0 x x 0时 ,恒有 f ( x ) A .记作 limx x0 0

f ( x) A

或

f ( x 0 0) A.

( x x0 )

右极限:

0 , 0 , 使当 x 0 x x 0 时 , 恒有 f ( x ) A .

记作 lim

x x0 0

f ( x) A

或

f ( x 0 0) A.

( x x0 )

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3.函数极限收敛的充要条件( 1 ) lim f ( x ) A x x0 x x0 0

lim

f (x)

x x0 0

lim

f (x) A

( 2 ) lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) Ax x x

4.函数极限的运算法则( 1 ) lim[ af ( x ) bg ( x )] a lim f ( x ) b lim g ( x ) aA bB( 2 ) lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) ABf (x) g( x) lim f ( x ) lim g ( x ) A B ( B 0时 )

( 3 ) lim

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5.函数极限的主要性质( 1 ) 唯一性：若 lim f ( x ) A , lim f ( x ) B , 则 A Blim f ( x ) A ,则 M 0 , 0

( 2 ) 局部有界性：若

x x0

使得 0 | x x 0 | 时，| f ( x ) | M

,则在 (3) 局部保号性：若 lim f ( x ) A ( 0或 0)U ( x , ) 内有 x x0

f ( x ) 0 (或 0 )

(4)夹逼准则：若 g ( x ) f ( x ) h ( x )lim g ( x ) lim h ( x ) A

则 lim f ( x ) A

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三、无穷小与无穷大1.无穷小的基本概念 (1)无穷小的定义 (2)无穷小阶的比较lim ( x ) 0

0, 0,比较它们的阶 A

lim

A 0

A=

A= c

0

c 1

比 高阶

比 低阶

与 同阶

与 等价

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2.无穷小的主要性质( 1 ) 若 | f ( x ) | M , g ( x ) 0 , 则 f ( x ) g ( x ) 0(2) 若 ~ 0( )

( 3 ) 若 ~ , ~ , 且 lim

存 在 ， 则 lim

lim

四、两个重要极限1. 2.lim sin x xx 0

11

lim ( 1 x

1 x

) ex

或

lim ( 1 x ) x ex 0

五、解题方法及典型例题

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数列极限解题 方法流程图

求 lim a n n

判别 a n的形式an f ( n )

a n 为分式

可找到数列 bn 和 cn 满足 bn an cnlim bn an

an 1 g ( a n )

恒等变形

验证 a n单调有界lim cn an

应用极限的四则 运算法则求极限

应用单调 有界准则a lim an 1 n

应用夹逼准则lim g (an ) g (a )n

lim an an

lim an an

lim an an

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函数极限解题 方法流程图

求 lim f ( x )

判别 f ( x ) 的形式

f ( x ) g ( x )h( x )

f (x)

g( x) h( x )

f ( x ) 为未定式

f ( x ) 为复合函数 f ( x ) g ( h ( x ))

恒等变形

g ( x ), h ( x )为无穷小,

f (x)

sin m ( x ) m(x)

或1 m(x)

且 g ( x ) ~ g1 ( x ) 应用极限的四则 运算法则求极限h ( x ) ~ h1 ( x )

f ( x ) [1 m ( x )]

应用连续函数的 极限运算准则lim g ( h ( x ))

应用等价无穷小代换

应用重要极限lim f ( x ) A

g (lim h ( x ))

lim f ( x ) Alim

g( x) h( x )

lim

g1 ( x ) h1 ( x )

lim g ( h ( x )) g (lim h ( x )) A

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Ⅱ 函数的连续性一、函数连续的基本概念1.函数连续的定义

(1)f ( x ) 在 x 0 点连续:f (2) ( x )在 x 0点左连续:

x x0

lim f ( x ) f ( x 0 )lim f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )

x x0 0

右连续:

x x0 0

lim

f (3) ( x ) 在区间上连续：在 ( a , b ) 每一点都连续，叫做在 ( a , b )

连续；如果同时在 a 右连续，在 b 左连续,则叫做在 [ a , b ]连续. 2.f ( x ) 在 x 0连续的充要条件:x x0 0

lim

f (x)

x x0 0

lim

f ( x ) f ( x0 )

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3.函数连续与极限的关系连续 极限存在

4.间断点的分类 第一类间断点 (左右极限都存在)

lim 可去间断点： x 0 x0

f (x) f (x)

x x0 0

lim

f (x)

间断点 第二类间断点

lim 跳跃间断点： x 0 x0

x x0 0

lim

f (x)

(左右极限至少 有一个不存在)

无穷间断点： 左右极 …… 此处隐藏：1610字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……