2013中考全国100份试卷分类汇编

勾股定理

1、（2013 昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点． 其中正确的结论有（ ）

2

2

2

2、（2013达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以

AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B

解析：由勾股定理，得AC＝5，因为平行边形的对角线互相平分，

所以，DE一定经过AC中点O，当DE⊥BC时，DE最小，

此时OD＝

3

，所以最小值DE＝3 2

3、（2013 自贡）如图，在平行四边形

ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）

4、（2013 资阳）如图，点E在正方形ABCD

内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）

5、（2012 泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）

6、（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）

A．2 B．4 C．4 D．8

考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 专题：计算题．

分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．

解答：解：∵AE为∠ADB的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴AD=FD，

又F为DC的中点，

∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=则AF=2AG=2， 在△ADF和△ECF中，

，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF=EF，

则

AE=2AF=4． 故选B

点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 7、（2013 苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，

），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC

的最小值为（ ）

8、（2013 鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）

9、（2013 绥化）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：

222

①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=2（AD+AB）， 其中结论正确的个数是（ ）

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形. 专题： 计算题. 分析： ①由 AB=AC,AD=AE,利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 得出三角形 ABD 与三角形 AEC 全等，由全等三角形的对应边相等得到 BD=CE,本选项正确； ②由三角形 ABD 与三角形 AEC 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性 质及等量代换得到 BD 垂直于 CE,本选项正确； ③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°,等量代换得到 ∠ACE+∠DBC=45°,本选项正确； ④由 BD 垂直于 CE,在直角三角形 BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即 可作出判断. 解答： 解：①∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, ∵在△ BAD 和△ CAE 中， , ∴△BAD≌△CAE(SAS) , ∴BD=CE,本选项正确； ②∵△BAD≌△CAE, ∴∠ABD=∠ACE, ∵∠ABD+∠DBC=45°, ∴∠ACE+∠DBC=45°, ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°, 则 BD⊥CE,本选项正确； ③∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠ABD+∠DBC=45°, ∵∠ABD=∠ACE ∴∠ACE+∠DBC=45°,本选项正确； ④∵BD⊥CE, 2 2 2 ∴在 Rt△ BDE 中，利用勾股定理得：BE =BD +DE , ∵△ADE 为等腰直角三角形， 2 2 ∴DE= AD,即 DE =2AD , 2 2 2 2 2 ∴BE =BD +DE =BD +2AD , 2 2 而 BD ≠2AB ,本选项错误， 综上，正确的个数为 3 个. 故选 C 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练 掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. 10、 (2013 黔西南州)一直角三角形的两边长分别为 3 和 4.则第三边的长为( A.5 B. C. D.5 或 )

11、（2013安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟

从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 考点：勾股定理的应用． 专题：应用题．

分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 解答：解：如图，设大树高为AB=10m， 小树高为CD=4m，

过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC，

∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m， 在Rt△AEC中，AC=故选B．

=10m，

点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

12、（2013年佛山市）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)( ) A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m

分析：首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可

解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m， 第7题图

B

C

∴BC====20≈34.6（m），故选：B．

点评：此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 13、（2013台湾、14）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

分析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半着一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长． 解答：解：∵BE⊥AC， ∴△AEB是直角三角形， ∵D为AB中点，DE=10， ∴AB=20， ∵AE=16， ∴BE=故选C．

点评：本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大．

14、（10-4图形变换综合与创新·2013东营中考）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器．．

外．壁．，离容器上沿0.3m与蚊子相．对．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.

=12，

16. 1.3.解析：因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点A ，连接A B，则A B与EF的交点就是所求的点P，过B作BM AA 于点M，在Rt A MB中，A M 1.2，BM

1

，所以A B 1.3，因2

为A B AP PB，所以壁虎捉蚊子的最短距离为

1.3m.

16题答案图

15、（2013 滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为

．

16、（2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.

第17题

【答案】

10 3

【解析】由勾股定理求得：BD=13，

DA=DA'=BC=5，∠DA'E=∠DAE=90°，设AE=x，则A'E=x，BE=12－x，BA'=13－5＝8， 在Rt△EA'B中，(12 x) x 8，解得：x＝

2

2

2

1010，即AE的长为 33

17、（

2013 黄冈）已知△ABC

为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．

18、（2013四川宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为 20 ．

考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值． 解答：解：∵AG∥BD，BD=FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG，

又∵点D是AC中点， ∴BD=DF=AC，

∴四边形BGFD是菱形， 设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，

在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2， 解得：x=5，

故四边形BDFG的周长=4GF=20． 故答案为：20．

点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形． 19、（2013 荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=

．

20、（2013 张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=．

21、（2013 包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 135 度．

22、（2013 巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足

，

则该直角三角形的斜边长为 5 ．

23、（2013 雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标 （0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，．