信号与系统

沈元隆 周井泉

第一章

第1章 信号与系统的基本概念 1.1 信号的描述及分类 1.2 信号的运算 1.3 系统的数学模型及其分类 1.4 系统的模拟 1.5 线性时不变系统分析方法概述 习题1

第1章 信号与系统的基本概念 章 1.1 信号的描述及其分类 1.1.1 信号及其描述 什么是信号(signal)?广义地说，信号是随时间变化的某 种物理量。在通信技术中，一般将语言、文字、图像或数据 等统称为消息(message)。在消息中包含有一定数量的信息 (information)。但是，信息的传送一般都不是直接的，它 必须借助于一定形式的信号(光信号、声信号、电信号等), 才能远距离快速传输和进行各种处理。因而，信号是消息的 表现形式，它是通信传输的客观对象，而消息则是信号的具 体内容，它蕴藏在信号之中。本课程将只讨论应用广泛的电 信号，它通常是随时间变化的电压或电流，在某些情况下， 也可以是电荷或磁通。由于信号是随时间而变化的，在数学 上可以用时间 t 的函数 f ( t ) 来表示，因此，“信号”与“函 数”两个名词常常通用。

信号的特性可以从两个方面来描述，即时间特性和频率特性。 信号可写成数学表达式，即是时间 t 的函数，它具有一定的 波形，因而表现出一定波形的时间特性，如出现时间的先后、 持续时间的长短、重复周期的大小及随时间变化的快慢等。 另一方面，任意信号在一定条件下总可以分解为许多不同频 率的正弦分量，即具有一定的频率成份，因而表现为一定波 形的频率特性，如含有大小不同频率分量、主要频率分量占 有不同的范围等。 信号的形式所以不同，就因为它们各自有不同的时间特性和 频率特性，而信号的时间特性和频率特性有着对应的关系， 不同的时间特性将导致不同的频率特性的出现。 1.1.2 信号的分类 对于各种信号，可以从不同的角度进行分类。 1.确定信号和随机信号

按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号和随机信 号两类。 确定信号(determinate signal)是指一个可以表示为确定的 时间函数的信号。对于指定的某一时刻，信号有确定的值。 如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。随机信号 (random signal)则与之不同，它不是一个确定的时间函数， 通常只知道它取某一数值的概率，如噪音信号等。 实际传输的信号几乎都具有不可预知的不确定性，因而都 是随机信号。如，通信系统中传输的信号带有不确定性， 接收者在收到所传送的消息之前，对信息源所发出的消息 是不知道的，否则，接收者就不可能由它得知任何新的消 息，也就失去通信的意义。另外，信号在传输过程

中难免 受各种干扰和噪声的影响，将使信号产生失真。所以，一 般的通信信号都是随机信号。但是，在一定条件下，随机 信号也表现出某些确定性，通常把在较长时间内比较确定 的随机信号，近似地看成确定信号，以使分析简化。

2.连续信号和离散信号 按照函数时间取值的连续性划分，确定信号可分为连续时 间信号和离散时间信号，简称连续信号和离散信号。 连续信号(continuous signal)是指在所讨论的时间内，对 任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号，通常用f ( t ) 表示。 离散信号(discrete signal)是指只在某些不连续规定的时刻 有定义，而在其它时刻没有定义的信号。通常用 f(tk) 或 f(kT) [简写 f(k )] 表示，如图1.1-2所示。图中信号 f (tk) 只在t k = -2, -1, 0, 1, 2, 3,…等离散时刻才给出函数值。 3. 周期信号和非周期信号 按信号(函数)的周期性划分，确定信号又可以分为周期信 号与非周期信号。

周期信号(periodic signal)是指一个每隔一定时间T,周而 复始且无始无终的信号，它们的表达式可写为 f(t)=f(t+nT) n = 0, 1, 2, …

满足此关系式的最小T 值称为信号的周期。只要给出此信号 在任一周期内的变化过程，便可确知它在任一时刻的数值。非 周期信号(aperiodic signal)在时间上不具有周而复始的特性。 非周期信号也可以看作为一个周期T趋于无穷大时的周期信号。 4. 能量信号与功率信号 信号按时间函数的可积性划分，可以分为能量信号，功率信 号和非功非能信号。 信号可看作是随时间变化的电压或电流，信号 f(t) 在1欧姆 的电阻上的瞬时功率为 | f ( t ) | 2 ,在时间区间 ( ∞ , ∞ ) 所消耗的总能量定义为：

E = lim ∫其平均功率定义为：

T

2

T →∞ T

f (t) dt

(1.1-1)

2 1 T P = lim ∫ T f (t) dt T →∞ 2 T

( 1.1-2 )

上两式中，被积函数都是f ( t )的绝对值平方，所以信号能量 E 和信号功率P 都是非负实数。 若信号f ( t )的能量0 < E < ∞ , 此时P = 0,则称此信号 为能量有限信号，简称能量信号(energy signal)。 若信号f ( t )的功率0 < P < ∞ , 此时E = ∞ ,则称此信 号为功率有限信号，简称功率信号(power signal)。 信号f ( t )可以是一个既非功率信号，又非能量信号， 如单位斜坡信号就是一个例子。但一个信号不可能同时既是 功率信号，又是能量信号。

一般说来周期信号都是功率信号，非周期信号或者是能量 信号，或者是功率信号，或者既非能量信号又非功率信号。 属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号，它在有限时间范 围内有一定的数值。 1.1.3 典型连续信号 下面给出一些典型连续信号的表达式和波形，我们今后会

经 常遇到它们。典型离散信号的表达式及波形将在第五章中讨 论。 1.单位阶跃信号(unit step signal)

ε (t) = t 1 0 t > 0< 0 ε (t) = 1

t <0 0 单位阶跃信号的定义为： t >0(1.1-3)

其波形在跃变点t = 0处，函数值未定。

若单位阶跃信号跃变点在t = t 0处，则称其为延迟单位阶跃函 数。 2.单位冲激信号(unit impulse signal) 单位冲激信号( t )是一个特殊信号，它不是用普通的函数来定 义。它的工程定义如式(1.1-5)描述。这个定义由狄拉克 (P.A.M. Dirac) 提出，故又称狄拉克函数。它除在原点以外， 处处为零，并且具有单位面积值。直观地看，这一函数可以 设想为一列窄脉冲的极限。如一个矩形脉冲。

0 t ≠ 0 δ (t) = 和 ∞ t = 0

∫

∞

∞

δ (t)dt =1

3. 复指数信号(complex exponential signal)

f (t ) = est

s = σ + jω 为复数，称复频率。

由于复指数信号能概括多种情况，所以可利用它来描述多种 基本信号，如直流信号、指数信号、等幅、增幅或减幅正弦 或余弦信号，因此，它是信号与系统分析中经常遇到的重要 信号。 上面我们介绍了几种最基本的信号，接着来介绍有关信号的 各种运算。 1.2 信号的运算 1.2.1 信号的相加与相乘 两个信号相加(相乘)可得到一个新的信号，它在任意时刻 的值等于两个信号在该时刻的值之和(积)。信号相加与相 乘运算可以通过信号的波形 ( 或信号的表达式 ) 进行。

1.2.2 信号的导数与积分 d f (t) 信号f ( t )的导数是指 dt 或记作f ‘( t ),从波形看，它表 示信号值随时间变化的变化率。当f ( t ) 含有不连续点时，由 于引入了冲激函数的概念，f ( t )在这些不连续点上仍有导数， 出现冲激，其强度为原函数在该处的跳变量。 信号f ( t )的积分是指或记作f (-1)( t ),从波形看，它在任意时 刻t的值为从-到t区间，f ( t )与时间轴所包围的面积。 1.2.3 信号的时移和折叠 信号f(t)时移 ± t0 (t0 > 0),就是将 f(t)表达式中所有自 变量t用t ± t0 替换,成为 f (t ± t0 ) 。信号f ( t )的折叠就是将 f ( t )表达式以及定义域中的变量 t 用 –t 替换，成为f ( - t )。 1.2.4 信号的尺度变换 尺度变换就是把信号f ( t )以及定义域中自变量t用at去置换， 成为f ( at )。

1.3 系统的数学模型及其分类 1.3.1 系统的概念 什么是系统(system)?广义地说，系统是由若干相互作用 和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如， 通信系统、自动控制系统、计算机网络系统、电力系统、水 利灌溉系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激 励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 1.3.2 系统的数学模型 分析一个实

际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数 学模型的基础上，再根据系统的初始状态和输入激励，运用 数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理 解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性 的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系 统特性。

系统模型的建立是有一定条件的，对于同一物理系统，在不 同条件下可以得到不同形式的数学模型。另一方面，对于不 同的物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相 同的数学模型。 1.3.3 系统的分类 系统的分类比较复杂，我们主要考虑其数学模型的差异来划 分不同的类型。 1. 连续时间系统和离散时间系统 输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。输 入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。模拟 通信系统是连续时间系统，而数字计算机就是离散时间系统。 连续时间系统的数学模型是微分方程，而离散时间系统则用 差分方程来描述。

2. 线性系统和非线性系统 线性系统是指具有线性特性的系统。所谓线性特性(linearity) 系指齐次性与叠加性。若系统输入增加k倍，输出也增加k倍， 这就是齐次性(homogeneity)。若有几个输入同时作用于系 统，而系统总的输出等于每一个输入单独作用所引起的输出 之和，这就是叠加性(superposition Property)。系统同时具 有齐次性和叠加性便呈现线性特性 。 一个系统的输出不仅与输入有关，还与系统的初始状态有关。 设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为y ( t );仅有激 励而初始状态为零的响应为y z s ( t ),称为零状态响应；仅有 初始状态而激励为零时的响应为y z i ( t ),称为零输入响应。 若将系统的初始状态看成系统的另一种输入激励，则对于线 性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输 入单独作用时相应输出的叠加。

因此，一般线性系统必须具有： a. 分解性(decomposition property): 即 y ( t )= y z s ( t )+ y z i ( t ) (1.3-6)

b.零输入线性——当系统有多个初始状态时，零输入响 应对每个初始状态呈线性。 c.零状态线性——当系统有多个输入时，零状态响应对 每个输入呈线性。 凡不具备上述特性的系统则称为非线性系统。