实验报告—数值分析

江西理工大学上数值分析期末实验

《数值分析》实验报告

姓 名： 学 号： 专 业：

指导教师： 刘 建 生 教 授 日 期： 2015年12月25日

江西理工大学上数值分析期末实验

实验一 Lagrange/newton插值

一：对于给定的一元函数y f(x)的n+1个节点值yj f(xj),j 0,1, ,n。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。

数据如下：

6f(0.99)的值（提示：结果为f(0.596) 0.625732, 计算f(0.59,f(0.99) 1.05423 ）

试构造Lagrange多项式L6(x)，计算的f(1.8),f(6.15)值。（提示：结果为

f(1.8) 0.164762, f(6.15) 0.001266 ）

二：实验程序及注释

MATLAB程序：function f=lagrange(x0,y0,x )

n=length(x0); m=length(y0); format long s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k

p=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end

s=s+y0(k)*p; End f=s; end

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结果运行：

结果与提示值完全吻合，说明Lagrange插值多项式的精度是很高的；

f(x)

(x x1)(x x2)(x x3)(x x4)(x x5)

(x0 x1)(x0 x2)(x0 x3)(x0 x4)(x0 x5)

(x x0)(x x1)(x x2)(x x3)(x x4)(x5 x0)(x5 x1)(x5 x2)(x5 x3)(x5 x4)

同时，若采用三点插值和两点插值的方法，用三点插值的精度更高。若同时采用两点插值，选取的节点距离x越近，精度越高。

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三：采用newton插值进行计算 算法程序如下：

format long; x0=[0.4

0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 ];

0.69675

0.90 1.00 1.25382 ];

y0=[0.41075 0.57815 n=max(size(x0));

y=y0(1); %disp(y); s=1;

dx=y0; for i=1:n-1 dx0=dx; for j=1:n-i

dx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j)); end df=dx(1); s=s*(x-x0(i));

y=y+s*df; %计算 %%disp(y); end disp(y)

x=0.596;

运行结果：

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绘制出曲线图：

与结果相吻合。

所以newton法和Lagrange法的思想是一样的。Lagrange适合理论分析，但Lagrange法不如newton法灵活。Lagrange如果节点个数改变，算法需要重新编写，而Newton法克服这一缺点，所以应用更为灵活。

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实验二 函数逼近与曲线拟合

一、问题提出

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。 t(分钟) y（10 4）

要求：

1、用最小二乘法进行曲线拟合；

2、近似解析表达式为f(x)=a1t+ a2t2+ a3t；

3、计算出拟合函数f(x)，并列出出f(x)与y(x)的误差； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、绘制出曲线拟合图。

二、问题分析 三、

从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

三、实验程序及注释

三次拟合程序（最小二乘法）：

t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]%输入时间t的数据

y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64]%输入含碳量数据

[p,s]=polyfit(t,y,3)%调用MATLAB最小二乘法的程序进行三次拟合并给出误差分析 format long%14位精度小数

plot(t,y,'*r')%绘制被拟合数据点的离散图 hold on

plot(t,y1,'b')%绘制三次拟合函数图（其中y1是拟合之后的数据） xlabel('时间t（分钟）') %注释x轴 ylabel('含碳量/10^-4') %注释y轴 title('三次拟合图') %注释图名 grid%坐标系网格化

四次拟合程序（最小二乘法）：

[p,s]=polyfit(t,y,4) %调用MATLAB最小二乘法的程序进行四次拟合并给出误差分析 format long%14位精度小数

plot(t,y,'*r')%绘制被拟合数据点的离散图

3

0 0

5 1.27

10 2.16

15 2.86

20 3.44

25 3.87

30 4.15

35 4.37

40 4.51

45 4.58

50 4.02

55 4.64

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hold on

plot(t,y2,'b')%绘制三次拟合函数图（其中y2是拟合之后的数据） xlabel('时间t（分钟）') %注释x轴 ylabel('含碳量/10^-4') %注释y轴 title('四次拟合图') %注释图名 grid%坐标系网格化

四、实验数据结果及分析

三次拟合可以得到其拟合多项式为：

y1=0.00003436415436t3-0.00521556221556t2+0.26339852739853t+0.01783882783883

拟合函数与被拟合函数图之间的对比如下： （1） 红色星号为原始数据；

（2） 带圈的曲线为最小二乘后而成的结果曲线。

由此可见拟合函数与原函数离散数据点拟合成程度相当好，通过[p,s]=polyfit(t,y,n)对拟合误差进行分析，如图：

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图2-2

由此可知，三次拟合精度较好。

为了提高结果的可信度，我们另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较。于是，进行四次拟合：

其中，拟合得到的多项式为：

y2=0.00000060256410t4-0.00003191789692 t3-0.00293227466977t2

+0.23806931494432t+0.06044871794872 拟合如图

2-3

图2-3

同样对四次拟合进行误差分析可得：

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图2-4

由此可见，四 …… 此处隐藏：5660字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……