绕任意轴_旋转_对应的欧拉角的新求解公式

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第25卷第9期2006年9月大　学　物　理COLLEGE　PHYSICSVol.25No.9

Sep.

2006

绕任意轴μ旋转φ对应的欧拉角的新求解公式

王美山,李文亮,杨传路,王德华,徐　强,任廷琦

(鲁东大学物理与电子工程学院,山东烟台　264025)

　　摘要:首先回顾了如何根据欧拉角得到转动操作的表示矩阵,然后应用余弦定理、简单的几何关系以及群的特征标理论π/3得到了求解绕任意轴μ旋转φ对应的欧拉角的新公式,最后利用得到的公式求出了绕通过原点和(1,1,1)点的直线旋转2的欧拉角,从而验证了所得公式的正确性.

关键词:欧拉角;方向余弦;群表示;特征标

中图分类号:O413　　　文献标识码:A　　　文章编号:100020712(2006)0920031203

　　根据分子满足的对称群,分子的几何对称性很

容易确定.利用分子的几何对称性和群表示理论,人们可以方便地研究分子的许多物理和化学性质,如分子的光谱项、振子强度、[1～3]

性能.SO(3)、SO(2)等))Rμ(φ)=R(,β,γ(1)

γα、

.R(α,β,γ)可以分解为3个连续:

)=Rz(γ)RN(β)RZ(α)R(α,β,γ

(2)

应用在量子力学、.知道了绕任意

轴μ旋转φ对应的欧拉角,便很容易得到绕任意轴μ旋转φ的转动的表示矩阵[2,6,7].在文献[7]中,虽然发现了根据任意轴μ的方向余弦和φ求解欧拉角满足的表达式,但这些表达式存在问题,需要进行修正.因此,进一步研究绕任意轴μ旋转φ对应的欧拉角关系显得很有意义.在本文中,我们首先简要回顾了如何根据欧拉角得到转动操作的表示矩阵;然后应用余弦定理、简单的几何关系以及群的特征标理论推导了求解绕任意轴μ旋转φ对应的欧拉角的一组全新公式;最后根据所得公式求出了绕通

π过原点和(1,1,1)点的直线旋转2/3的欧拉角,从而验证了公式的正确性.根据我们得到的新公式,人

们可以得到绕任意轴μ旋转φ对应的欧拉角,从而得到绕任意轴μ旋转φ的转动操作的表示矩阵.

[4,5]

)、)、)分别表示绕Z轴、其中RZ(αRN(βRz(γN轴、

β、γ.在式(2)中,R(α,β,γ)使用了两种坐z轴转α、

标系,在很多场合应用起来不方便.根据幺正变换的

)可以通过RY(β)在RZ(α)的性质,容易知道RN(β变换下得到

[4]

,即

-1

)=RZ(α)RY(β)RZ(α)RN(β(3

)

图1　相对于空间固定坐标系F=XYZ与物体

β、γ固定坐标系g=xyz的欧拉角α、

1　转动操作关于欧拉角的表示矩阵

根据欧拉转动定理,刚体做定点转动的空间位置需要3个独立的变量来确定.这3个独立变量通

β、γ.通过3常采用欧拉于1776年提出的欧拉角α、

个欧拉角的引入,绕任意轴μ旋转φ的转动可表示为

[2,4]

同理,有

)=RN(β)RZ(γ)RN(β)Rz(γ

)=RZ(α)RZ(γ)RZ(α)RZ(γ

(4)和(5)代入式(2),得到把式(3)、

-1-1

(4)(5)

　收稿日期:2006-01-15

　基金项目:鲁东大学人才基金资助项目(042802)

),男,鲁东大学物理与电子工程学院教授,主要从事原子与分子物理的教学和研究.　作者简介:王美山(1971—

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　32大　学　物　理　　第25卷

)RY(β)RZ(γ)　　　R(α,β,γ)=RZ(α(6)角β(见图2).

式(6)给出了绕任意轴μ旋转φ的转动在空间固定

坐标系中的表达式.

根据群表示理论,容易得到

cosα-sinα0)=sinαcosα0RZ(α

)=RY(β

0sinβcosγ

)=sinγRZ(γ

010

0cos0(7c)

sin(7b)

图2　OZ绕μ旋转φ形成的四面体OZMz

[2]

(7a)

-cosβ0

-sinγ0cosγ0

设OZ=a,Z在μ上的投影为M,在△ZOz和△ZMz,(2=2a2cosβ

()2=2a2sin2<Zcosφ(),得到

2

cosβ=1-sin<Z(1-cosφ)

(10a)(10b)(11a)(11b)(11c)

(7b)、(7c)代入式(6),得到把式(7a)、

　Rμ(φ)=R(α,β,γ)=

AC

Bsincos(8)

-sinβcossin用类似的方法,可以得到

x2

cos<X=1-sin<X(1-cosφ)

cos<Y=1

-sin<Y(1-cosφ)

y

式中:

A=cosαcosβcosγ-sinαsinγB=-cosαcosβsinγ-sinαcosγC=sinαcosβcosγ+cosαsinγD=-sinαcosβsinγ+cosαcosγ

2

(11c)和(11a)给出了绕任意轴μ旋转φ时式(11b)、

xyz

)分X和x、Y和y、Z和z之间的夹角<X、<Y和<Z(β

根据式(8),只要知道了绕任意轴μ旋转φ对应的欧拉角,对应转动的表示矩阵就很容易得到.

别所满足的表达式.物体绕μ旋转φ后,我们容易

得到图3所示的四面体,其中ON是OY绕OZ旋转α到达的位置.令OY=a,在△OYy和△YNy中再次应用余弦定理,得到

2　根据μ与X、Y、Z的夹角<X、<Y、<Z以及

β、γ转角φ确定α、

设任意轴μ上点P的坐标为(X0,Y0,Z0),且μ与空间坐标系的坐标轴X、Y、Z的夹角分别为<X、<Y、<Z,则μ的方向余弦为

cos<X=cos<Y=cos<Z=

X+Y+Z

Y0

X0+Y0+Z0

ZX+Y+Z

2

20

20

2

2

2

20

20

20

(9a)(9b

)(9c)

图3　物体绕μ旋转φ时OY、ON、

Oy等线段形成的四面体OYNy

当物体绕任意轴μ旋转φ时,空间固定坐标系的3个坐标轴X、Y、Z在3个不同的圆锥面上运动,最后与物体固定坐标系的3个坐标轴x、y、z重合.设X和x、Y和y、Z和z之间的夹角分别为<、

yzz

<Y和<Z,容易看出<Z=β.我们首先研究与z轴的夹

xX

cosγcosγ

2

)2+(cosα)2-　　　(Yy)=(asinαtanγ

π-β)　2sinαtanγcosαcos(

2

(Yy)=a+

22

α