2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件2(5)：导数及应用2

导数及其应用( §5 导数及其应用(二) 真题热身1.(2011·辽宁改编 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 . 辽宁改编)函数 辽宁改编 的定义域为 ， - = , x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为 (-1,+∞) . ∈ ,′ , + 的解集为_____________. ,+∞

解析 设 m(x)=f(x)-(2x+4), 则 m′(x)=f′(x)-2>0, ∴m(x)在 R 上是增函数. ∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0, ∴m(x)>0 的解集为{x|x>-1}, 即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞).

2.(2011·辽宁 已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范 . 辽宁)已知函数 辽宁 = + 有零点， 围是__________________. 围是 (-∞,2ln 2-2] . 2-

解析 函数 f(x)=ex-2x+a 有零点， 即方程 ex-2x+a=0 有实根，即函数 g(x)=2x-ex,y=a 有交点，而 g′(x)= 2-ex, 易知函数 g(x)=2x-ex 在(-∞, 2)上递增,在(ln 2, ln +∞)上递减， 因而 g(x)=2x-ex 的值域为(-∞,2ln 2-2], 所以要使函数 g(x)=2x-ex,y=a 有交点，只需 a≤2ln 2 -2 即可.

3.(2011·江苏 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f(x)= . 江苏)在平面直角坐标系 江苏 = ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于 的图象上的动点， 的图象上的动点 点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点 ， , 的最大值是________. 的纵坐标为 t,则 t 的最大值是 ， .

解析

设点 P(x0,e x0),则 f′(x0)=e x0(x0>0).

所以 f(x)=ex(x>0)在 P 点的切线 l 的方程为 y-e x0=e x0(x-x0). 所以 M(0,e x0-x0e x0). 过 P 点的 l 的垂线方程为 x0 x0 所以 N (0, e + x0 ) . e y-e x0=-1 e x0

(x-x0),

x0 所以2t = e x0 e + e + x0 e = 2 e x0 x0 e x0 + x0 e x0 ( x0 > 0).x0 x0 x0

则(2t ′) = 2 e x0 e x0 x0 e x0 + e x0 x0 e x0 = (1 x0 )(e x0 + e x0 ). 因为e x0 + e x0 > 0,所以当 1-x0>0,即 0<x0<1 时，(2t)′>0, - , ′ , 2t 在 x∈(1,+∞)上单调递减. ,+∞ 上单调递减. ∈ ,+ 上单调递减 1 所以当 x0=1 时，2t 有最大值 e+ , + e 1 1 即 t 的最大值为 (e+ ). + . 2 e

1 1 答案 e+ e 2

考点整合导数为我们解决有关函数问题提供了一般性方法， 导数为我们解决有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际 问题强有力的工具，导数的应用是高考考查的重点和难点，题 问题强有力的工具，导数的应用是高考考查的重点和难点， 型既有灵活多变的客观性试题， 型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观 性试题，既有基本题也有综合题， 性试题，既有基本题也有综合题，综合题主要是考查导数在函 数中的应用， 知识载体主要是三

次函数、 数中的应用 ， 知识载体主要是三次函数 、 指数函数与对数函 数.主要题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值 主要题型有： 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性、 问题； 求参数的范围 求参数的范围、 问题； (2)求参数的范围、构造函数利用导数证明不等式以及与 函数有关的探索性问题； 考查以函数为载体的实际应用题， 考查以函数为载体的实际应用题 函数有关的探索性问题；(3)考查以函数为载体的实际应用题， 主要是建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解. 主要是建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.不等式 证明、 不等式恒成立、 求参数范围以及方程(超越方程 解的个数， 超越方程)解的个数 证明、 不等式恒成立、 求参数范围以及方程 超越方程 解的个数， 图象交点个数问题都可以通过转化成函数最值问题， 图象交点个数问题都可以通过转化成函数最值问题，这类问题 比较灵活同时也有难度，是高考考查的热点和难点. 比较灵活同时也有难度，是高考考查的热点和难点.

分类突破一、利用导数求参数范围 例 1 设函数 f(x)=ln x-px+1. = - + (1)求函数 f(x)的极值点； 求函数 的极值点； 的极值点 (2)当 p>0 时，若对任意的 x>0,恒有 f(x)≤0,求 p 的取值 当 ， ≤ , 范围. 范围.

解 (1)∵f(x)=ln x-px+1, (1) f(x) ln x px 1 1-px 1 ∴f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -p= , x x 当 p≤0 时，f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上无极值点； 当 p>0 时，令 f′(x)=0, 1 ∴x= ∈(0,+∞), p

f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表： ′ 、 随 的变化情况如下表： 1 1 (0, ) , x p p f′(x) ′ f(x) + 单调递增 0 极大值

1 ( ,+∞) ,+∞ p - 单调递减

1 从上表可以看出， 从上表可以看出，当 p>0 时，f(x)有唯一的极大值点 x= . 有唯一的极大值点 = p 1 1 1 (2)当 p>0 时，f(x)在 x= 处取得极大值 f( )=ln ,此极大值也 当 在 = = p p p 1 1 是最大值. 是最大值.要使 f(x)≤0 恒成立，只需 f( )=ln ≤0,∴p≥1, ≤ 恒成立， = , ≥ , p p ∴p 的取值范围是[1,+∞). 的取值范围是 ，+∞ . ,+

全国)设函数 变式训练 1 (2010·全国 设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 全国 = - 1 的单调区间； (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间； 的单调区间 若 = 2 (2)若当 x≥0 时，f(x)≥0,求 a 的取值范围. 若当 ≥ 的取值范围. ≥ ,

1 1 2 x 解 (1)a= 时，f(x)=x(e -1)- x , 2 2 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞, -1)时， f′(x)>0; x∈(-1,0)时， 当 f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时，f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1),(0,+∞

)上单调递增，在(-1,0) 上单调递减.

(2)f(x)= x(ex- 1- ax), 令 g(x)= ex - 1- ax, g′(x)= ex- a.若 = - , = - , ′ = 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时，g′(x)>0,g(x)为增函数，而 g(0) ≤ , ,+∞ 为增函数， ∈ ,+ 时 ′ , 为增函数 =0,从而当 x≥0 时，g(x)≥0,即 f(x)≥0. , ≥ ≥ , ≥ 若 a …… 此处隐藏：3872字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……