浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用

浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用 永吉35中 王萍

数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。

数"和"形"是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.

数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式;数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。

从初中学习数轴开始，我们就建立起了有理数与数轴上点的对应关系。这可以算是数与形结合的开端。即而，学习实数之后，把这种对应转变为实数与数轴上点的一一对应。因而数形结合通常是与数轴、平面直角坐标系相联系的。新一轮课程改革中的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展，它要求学生通过学习数学知识、技 能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生

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学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，学会用数学的方法解决生活中的实际问题，那么，作为最基本的数学思想之一的数 形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？

下面我结合它在以下几方面的运用浅谈一下。

一、数与代数中的数形结合

这部分内容与原教学大纲比，数形结合的内容有很大改变和加强。它重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系及其相关学科的联系，如提前安排平面直角坐标系，用坐标的方法处理更多的内容包括二元一次方程组，平移变换，对称变换，函数等。又如，它改变了“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照一次和二次的数量关系，使方程和函数交替出现，分层递进，螺旋上升。

在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。教师要赋予这些系统内容新的活力，采用符合课标理念的教法，在吃透新课程标准和教材的基础上，让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。

例1、一元二次方程解的意义：

ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程。它的解可以理解为函数y= ax2+bx+c的图象与常值函数y=0，即x轴的交点的横坐标。那么当公

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共点有两个时,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解；当公共点只有一个时,对应的一元二次方程有两个相等的实数解；当没有公共点时,对应的一元二次方程没有实数解。

例：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6与x轴的公共点

A(-2,0),B(3,0)。

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y= x2-2x+1与x轴的公共点A(1,0)。

③x2+1=0，没有实数解，y= x2+1与x轴没有公共点。

图① 图② 图③

例2、二元一次方程组的解的意义：

a1x b1y c1 0二元一次方程组 的解有三种情况： ax by c 0 222

① 无解；②无数个解；③ 只有一个解。

这三种情况可以转化为两条直线a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0

的三种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。方程组的解转化为两条直线的交点。当a1：a2=b1：b2≠c1：c2时，两条直线的斜率相

同，y轴上的截距不同。此时两条直线平行，无交点，因而方程组无解。当a1：a2=b1：b2=c1：c2时，两条直线的斜率相同，y轴上

的截距相同。此时两条直线重合，有无数个公共点，因而方程组有无数个解。当a1：a2≠b1：b2时，两条直线的斜率不相同，两条

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直线相交，只有一个交点，因而方程组只有一个解。

例：① 2x y 3 0，方程组无解。两条直线2x+y+3=0、4x+2y+1=0 4x 4y 1 0

的位置关系如图：平行。

② 2x y 1 0，方程组只有一个解。两条直线2x+y+1=0、x+2y=0的 x 2y 0

位置关系如图：相交。

2x 4y 0③ ，方程组有无数个解。两条直线2x+4y=0、x+2y=0的位x 2y 0

置关系如图：重合。

x x

（1） （2） （3）

例3、图形隐含条件：

x

例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|∴a-b>0,b-c>0,a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)

=-a-2b-c。

例4、教师任意写出一个关于a和b的二次式，此二次式能分解成两个一次式的乘积，且各项系数都是正整数，如： a+2ab+b,

22

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2a+5ab+2b等。

b

b a a 22

学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形，讨论矩形的代数意义

学生在这一活动中能很好地体会代数与几何的联系，实现数量关系和图形性质的相应转化，这一活动达到了让学生手脑并用的目的，无疑对启迪学生的智慧起到助推器的作用。

例5、完成下列计算，

1+2=?

1+2+3=?

1+2+3+4=?

如果以1+2+3+4为例，

如图：由此可知，

1+2+3+4=10=

（1

4）由此可知，1+2+3+4=10= 4

2（1 5） 5 151+2+3+4+5=? 2

（1 100）

100 1+2+3+ +100=? 50502

1+2+3+ +n=?

（首项 末项） 项数2

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教师先让学生思考，让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程后提供以上图形，运用图形的直观性帮助学生理解，使学生从数与形的联系中发现规律，让学生了解这两个代数知识的几何背景，感受数学的神奇魅力。

在“数与代数”的教学中，教师应强调数与形的结合，让学生建立由数想到形，由形想倒数的思想，这样可以加深学生对“数与代数”的理解和认识，如利用图形理解完全平方公式、平方差公式，利用函数图像理解函数的变化趋势等都是培养学生数形结合思想的极好的方法。

二、“空间与图形”中的数形结合

新课程中的几何内容做了较大的删改，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。我想，这无疑给了教师充分脱脂的空间。教师要把握好数学思想方法在整个教学发展中的地位，对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。

例6、如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？

（2） 1）

对于这一问题学生往往采取实验的方法，这里裁一刀，那里试

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一剪，但却极少有人能在短时间内拼凑好。如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从已知到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西——面积，若设小正方形的面积为1，则其边长就是1，这样一来，我们仅需沿着图4中边长为的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条，于是很快就能找到答案。

问题之所以能很快解决，关键是我们从问题“变”中看到了“不变”，从“形”的表面找到了“数”这一实质。一个似乎是纯几何的问题，在“数”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法。又如，以下几个题目也是数形结合的很好的例子。

例7、（1）如图，用长30m的篱笆与一堵墙围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。

(2）如图，用长30m的篱笆与两堵墙（两堵墙成120°角）围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。

(3)如图8，用长12m的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，围使透进的阳光最多，应选择窗子的长宽各为多少m？

在教学中，教师应该不失时机的让学生透过形的外表，触及其内在的数量关系，探索由形到数的联系与规律。

三、“统计与概率”中的数形结合

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新课标中的统计与概率，在内部编排和内容要求上却由所加强，真正让学生经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用合适的统计表统计图来展示数据做出决策。

例6如图（略）

4

3

2

1

-1

-2

图9 4 3 2 1 0 -1

-2 图10 概率是新增加的内容，其抽象性使它成为教学的难点，在计算简单事件的概率时，采用画树状图的方法，树形结合，能收到化难为易的效果。

例7、一布袋中方有黄、白两种球，其中一个黄球，两个白球，它们除颜色外其它都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球，求两次都摸到白球的概率。

黄 白 白 黄 白 白 黄 白 白

由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助。