热力学统计物理 课后习题 答案

第七章 玻耳兹曼统计

7．1试根据公式P

2

al

l

L

证明，对于非相对论粒子 V

2UP21 2 222

P ，（ ）有 n,n,n 0, 1, 2, n n n xxyzyz

3V2m2m L

上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

证明：处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为

n

x,ny,nz

P21 2 222 nx ny nz （ nx,ny,nz 0, 1, 2, ）-------（1） 2m2m L

2

为书写简便，我们将上式简记为 aV

3

-----------------------（2）

(2 )2222

nx ny nz其中V=L是系统的体积，常量a ，并以单一指标l代表nx,ny,nz三2m

个量子数。 由（2）式可得

L22 l aV ---------------------（3） V33V

代入压强公式，有P 式中 U

al

l

L2

V3V

al l

l

2U

----------------------（4） 3V

a

ll

l

是系统的内能。

上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U仅指平动内能。 7．2根据公式P

al

l

L

证明，对于极端相对论粒子 V

2 22

cp cnx ny nz2

L

， nx,ny,nz 0, 1, 2, 有P

1U

3V

上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

证明：处在边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为

n

x,ny,nz

c

2 22

nx ny nz2L

， nx,ny,nz 0, 1, 2, -------（1）

为书写简便，我们将上式简记为 aV

-----------------------（2）

2

2

2

其中V=L3是系统的体积，常量a 2 cnx ny nz个量子数。

，并以单一指标l代表nx,ny,nz三

热力学统计物理 课后习题 答案

L11 aV l---------------------（3） 由（2）式可得 V33V

代入压强公式，有P 式中 U

al

l

L1

V3V

al l

l

1U

----------------------（4） 3V

a

ll

l

是系统的内能。

上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

7．4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为S Nk

P

S

S

lnPS，

e se s

式中PS是粒子处在量子态S的概率， PS ，

NZ1

求和。

S

对粒子的所有量子态

证明：根据式（6-6-9），处在能量为的量子态S上的平均粒子数为fs e

s

---------(1)

e se s

以N表示系统的粒子数，粒子处在量子态S上的概率为PS ---------(2)

NZ1

显然，PS满足归一化条件式中

s

PS 1---------(3)

s

是对粒子所有可能的量子态求和。粒子的平均能量可以表示为E

s

PS S----(4)

根据式（7-1-13），定域系统的熵为

S Nk(lnZ1

==== S Nk

lnZ1) Nk(lnZ1 ) Nk PS(lnZ1 S) S

S

P

S

lnPS----------------(5)

最后一步用了（2）式，即lnPS lnZ1 S----------------(6)

（5）式的熵表达式是具有启发性的。熵是广延量，具有相加性。（5）式意味着一个粒子的

熵等于 。它取决于粒子处在各个可能状态的概率PS。如果粒子肯定处在某个状态r，即= s r，粒子的熵等于零；反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零。这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的。如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息。粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。

7．5固体含有A、B两种原子．试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为

S kln

N!

Nk xlnx 1 x ln 1 x

Nx!N1 x!

其中N是总原子数，x是A原子的百分比，(1一x)是B原子的百分比．注意x<1．上式给出

热力学统计物理 课后习题 答案

的熵为正值．

证明：A、B两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx个A种原子在N个格点随即分布的状态数：

Nx

CN

N!

Nx!N1 x!

所以混合熵S kln kln

N!

k lnN! ln(Nx)! ln N 1 x !

Nx!N1 x!

当N很大时，利用公式lnm! m lnm 1 ,得

S k N lnN 1 Nx lnNx 1 N 1 x ln N Nx 1 Nk xlnx 1 x ln 1 x

证毕

7．8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为e

2m

PX2 PY2 (PZ P0)2]

V

dPXdPYdPZ。 h3

证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布 a 相应的

气体的微观状态数为 ---------(1)

a!

all

l

ll

其对数为ln

l

alln l lnal! alln l al(lnal 1)---------(2)

l

l

l

在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：

l

al N ;

a

ll

l

E ;

l

alPlZ PZ---------(3)

其中PZ是气体在Z方向的总动量，PLZ是处在能级l的分子所具有的Z方向动量。

气体分子的最概然分布是在限制 …… 此处隐藏：4458字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……