大学高等数学公式总结

高等数学公式

导数公式：

(tgx)′=sec2x(ctgx)′= cscx(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=

1xlna

2

(arcsinx)′=

1

x2

1

(arccosx)′=

x21

(arctgx)′=

1+x2

1

(arcctgx)′=

1+x2

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C

dx1x

=arctg+C∫a2+x2aadx1x a

=ln∫x2 a22ax+a+Cdx1a+x

=ln∫a2 x22aa x+Cdxx

=arcsin+C∫a2 x2

a

π2

π2

dx2

∫cos2x=∫secxdx=tgx+Cdx2

∫sin2x=∫cscxdx= ctgx+C∫secx tgxdx=secx+C

∫cscx ctgxdx= cscx+C

ax

∫adx=lna+C∫shxdx=chx+C

x

∫chxdx=shx+C∫

dxx2±a2

=ln(x+x2±a2)+C

In=∫sinnxdx=∫cosnxdx=

n 1

In 2n

∫∫∫

x2a22

x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C

22x2a2222

x adx=x a lnx+x2 a2+C

22x2a2x222

a xdx=a x+arcsin+C

22a

2

2

2u1 u2x2du

sinx=cosx=，　u=tgdx=

21+u21+u21+u2

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一些初等函数：两个重要极限：

ex e x

双曲正弦:shx=

2ex+e x

双曲余弦:chx=

2

shxex e x

双曲正切:thx==

chxex+e xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2 1)

11+x

arthx=ln

21 x

三角函数公式：·诱导公式：

角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α

·和差角公式：

lim

sinx

=1

x→0x

1

lim(1+x=e=2.718281828459045...x→∞x

sin-sinαcosαcosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinα

coscosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcosαcosα

tg-tgαctgα-ctgα-tgαtgαctgα-ctgα-tgαtgα

ctg-ctgαtgα-tgα-ctgαctgαtgα-tgα-ctgαctgα

·和差化积公式：

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ

tgα±tgβ

tg(α±β)=

1 tgα tgβctgα ctgβ 1

ctg(α±β)=

ctgβ±ctgα

α+βα β

cos22α+βα β

sinα sinβ=2cossin

22α+βα β

cosα+cosβ=2coscos

22α+βα β

cosα cosβ=2sinsin

22sinα+sinβ=2sin

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·倍角公式：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=2cos2α 1=1 2sin2α=cos2α sin2α

sin3α=3sinα 4sin3αcos3α=4cos3α 3cosα3tgα tg3αtg3α=

1 3tg2α

ctg2α 1

ctg2α=

2ctgα2tgα

tg2α=

1 tg2α

·半角公式：

sin

α cosαα1+cosα=±　　　　　　　　　　　　cos=±2222

tg

α cosα1 cosαsinαα1+cosα1+cosαsinα=±==　　ctg=±==21+cosαsinα1+cosα21 cosαsinα1 cosα

abc

===2RsinAsinBsinC

222

·余弦定理：c=a+b 2abcosC

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx=

ππ

arccosx　　　arctgx= arcctgx22

——莱布尼兹（Leibniz）公式：高阶导数公式高阶导数公式————莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：

(uv)

(n)

=∑Cnku(n k)v(k)

k=0

n

=u(n)v+nu(n 1)v′+

n(n 1)(n 2)n(n 1) (n k+1)(n k)(k)uv′′+ +uv+ +uv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b) f(a)=f′(ξ)(b a)f(b) f(a)f′(ξ)

=

F(b) F(a)F′(ξ)当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

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弧微分公式：ds=+y′2dx,其中y′=tgα=

α

α:从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量； s：MM′弧长。 s

y′′ αdα

M点的曲率：K=lim==.

23 s→0 sds(1+y′)

1

.a

直线：K=0;半径为a的圆：K=

定积分的近似计算：

b

矩形法：∫f(x)≈

ab

b a

(y0+y1+ +yn 1)n

b a1

(y0+yn)+y1+ +yn 1]n2

b a

y0+yn)+2(y2+y4+ +yn 2)+4(y1+y3+ +yn 1)]3n

梯形法：∫f(x)≈

a

b

抛物线法：∫f(x)≈

a

定积分应用相关公式：

功：W=F s

水压力：F=p A

mm

引力：F=k122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：y=f(x)dx

b a∫a12

f(t)dt∫b aa

空间解析几何和向量代数：

b

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空间2点的距离：d=M1M2=(x2 x1)2+(y2 y1)2+(z2 z1)2向量在轴上的投影：Prjucos , 是u轴的夹角。

Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2

a b=a bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosθ=

axbx+ayby+azbz

ax+ay+az bx+by+bz

2

2

2

2

2

2

i

c=a×b=ax

bxjaybyk

az,c=a bsinθ.例：线速度：v=w×r.bz

aybycy

az

bz=a×b ccosα,α为锐角时，cz

ax

向量的混合积：[abc]=(a×b) c=bx

cx代表平行六面体的体积。

1、点法式：A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0，其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

xyz

3++=1

abc平面外任意一点到该平面的距离：d=

平面的方程：

Ax0+By0+Cz0+D

A2+B2+C2

x=x0+mt

x xy y0z z0

0===t,其中s={m,n,p};参数方程： y=y0+nt

mnp z=z+pt

0

二次曲面：

x2y2z2

12+2+2=1

abcx2y2

2+=z（,p,q同号）

2p2q

3、双曲面：

x2y2z2

2+2 2=1

abcx2y2z2

2 2+2=（马鞍面）1

abc

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多元函数微分法及应用

全微分：dz=

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