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考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切

1.（2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ1）cos300 （ ）

(A)11

(C) 22

【命题立意】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【思路点拨】利用角的推广公式将

【规范解答】选C. cos300 cos 360 60 cos60

然后根据诱导公式求解.

1

. 2

2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ2）记cos( 80 ) k,那么tan100 （ ）

(A) (B)-

kk

【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化.

【思路点拨】由sin cos 1及cos( 80 ) k求出sin80°，再利用公式tan 求出tan100°的值.

【规范解答】选B.

方法一：sin80 ,

22

sin

cos

sin80 所以tan100

tan80

cos80

方法二：cos( 80 ) k cos80coº=k ，

k

3.（2010·江西高考理科·Ｔ７）E，F是等腰直角 ABC斜边AB上的三等分点，则tan ECF （ ）

(A)

1623

(B) (D)

273

4

【命题立意】本题主要考查两角和与差的三角函数公式及三角函数诱导公式．

【思路点拨】先求 ACE、 BCF的三角函数值，再求 ECF的正切.

1

，所以2111

13

tan ECF )= .

1212432tan( 1 )

2121tan( )

【方法技巧】本题也可建立直角坐标系，利用向量坐标来解决，以点CA，CB分别为x轴和2C为坐标原点，2

【规范解答】选Ｄ．设 = ACE， = BCF，则tan =tan =

y轴建立直角坐标系，且设直角边长为3，则C（0,0），A（3,0），B（0,3），E（2,1），F（1,2），所以

CE (2,1),CF (1,2)，cos ECF

1 2 2 1

34

，故tan ECF .在解决平面几

45

何有关问题时，利用坐标向量求角、距离，判断平行、垂直，来得更加快捷，思路也畅顺. 4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ13）已知α是第二象限的角,tan 【命题立意】本题考查了同角的三角函数关系公式.

【思路点拨】利用同角的平方关系和商数关系列出方程求解.注意α是第二象限的角，即cosα<0.

sin801 k

.2sinsin80 11 k22

.【规范解答】 及,α是第二象限的角.所以cos=-. sin con 1 cos80k

cos80k5con 2

1

，则cosα=__________ 2

【答案】-

25

5

5.（2010·全国Ⅰ文科·Ｔ14）已知 为第二象限的角，sin

3

,则tan2 5

【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

【思路点拨】由 为第二象限的角，利用sin cos 1，求出cos ，然后求出tan .利 用倍角的正切公式代入求解.

【规范解答】因为 为第二象限的角,又sin 所以tan(2 tan2 ) 【答案】

2

2

34sin 3

, 所以cos ，tan , 55cos 4

24

7

2tan 24

. 2

1 tan 7

6.（2010·全国Ⅰ理科·Ｔ14）已知 为第三象限的角，cos2

3

,则tan( 2 ) . 54

【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

【思路点拨】由 为第三象限的角，判断2 所在的象限，然后利用sin2 +cos2 =1

2

2

求出sin2 的值，由cos2 和sin2 求出tan2 的值，再根据两角和的正切公式化简计算求值. 【规范解答】

【方法1】因为 为第三象限的角,所以2 (2(2k 1) , 2(2k 1) )(k Z)，又cos2

<0, 所

3

5

4, 52

4

tan tan2 1

sin2 4 1. tan2 ,所以tan( 2 )

cos2 3471 tantan2 1 43

33

【方法2】 为第三象限的角，cos2 ，2k 2k ，k∈Z

52

4

k∈Z在第二象限， sin2 4k 2 2 4k 3 2 ，

5

以2 (

2(2k 1) , 2(2k 1) )(k Z),于是有sin2

sin( 2 )sincos2 cossin2 cos2 sin2 1tan( 2 ) .

47cos( 2 )coscos2 sinsin2 cos2 sin2 444

1

【答案】

7

cos

7.（2010·上海高考理科·Ｔ4）行列式

3

sincos

6

sin

3

6

的值是 ．

【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用．

【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值． 【规范解答】原式=cos【答案】0

3

cos

6

sin

3

sin

6

cos(

3

6

) cos

2

0．

cos

8.（2010·上海高考文科·Ｔ3）行列式

6

sincos

6

sin

6

6

的值是 ．

【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用．

【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值． 【规范解答】原式=cos

6

cos

6

sin

6

sin

6

cos2

6

sin2

6

cos

3

1． 2

【答案】

1 2

9.（2010·重庆高考文科·Ｔ１5）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。设第i段弧所对的圆心角为αi（i=1,2,3），则

【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，

cos

1

3

cos

2 3

3

sin

1

3

sin

2 3

3

考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想.

【思路点拨】第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解.

【规范解答】作三段圆弧的连心线，连结一段弧的

两个端点，如图所示,△O1O2O3是正三角形，点P是其中心，

2

， 34

第i段弧所对的圆心角为αi都是 ，

3

3 3

所以cos1cos2 sin1sin2

3333

2 3 341

cos(1 2) cos1 cos

33332

1

【答案】2

根据圆的有关性质可知 AO1B

【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快速解答. 10.（2010·四川高考理科·Ｔ19）

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C :cos( ) cos cos sin sin ；

) sin cos cosc sin . ②由C 推导两角和的正弦公式S+ :sin( 11 3

SS ,ABAB ACAC 33，且cosB 5，求cosC. （Ⅱ）已知 ABC的面积

22

【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的（Ⅰ）①②为课本上的内容，体现出试题源于课本的特点.

【思路点拨】（I）①在单位圆中，分别作出角 ， ， ，

，利用三角函数定义，分别写出各角

的终边，始边与单位圆的交点坐标，由圆的性质，可知PP13 P2P4，结合两点间距离公式即可求解. ②中求的是两角和的正弦值，需借助能把余弦变为正弦的诱导公式，故可用sin( ) cos

( ) 求 2

解.本题第（Ⅱ）问，由三角形的面积公式，向量的数量积公式可求得角A的正、余弦值，又知B的余弦值， 故可求cos(A B)的值，由诱导公式cosC cos (A B) cos(A B). 【规范解答】（I）①如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O， 并作出角 ， 与 ，使角 的始边为Ox，交⊙O于点P1， 终边交⊙O于点P2；角 的始边为OP2,终边交⊙O于点P3，

的始边位OP4，则P1，终边交⊙O于点P1(1,0)，P2(cos ,sin )， P3(cos( ),sin( ))，P4(cos( ),sin( ))，

由PP13 P2P4及两点间的距离公式得

cos( ) 1

2

sin2( ) cos( ) cos sin( ) sin 展开并整理得，

22

2 2cos( ) 2 2(cos cos sin sin )，

∴cos( ) cos cos sin sin . ②∵cos(

) sin ，sin( ) cos ，

22

( ) cos ( ) ( ) 2 2

由①易得sin( ) cos

cos( )cos( ) sin( )sin( ) sin cos cos sin ，

22

∴sin( ) sin cos cos sin .

（II）由题意，设 ABC的角B，C的对边分别为b、c，

11

ABAB AC AC BCBCcosAA 3 0 则sS bcsinA ，bc

22

∴A (0,)，cosA 3sinA，

2

又sinA cosA 1,

∴sinA 由cosB

2

2

,cosA . 1010

34

得，sinB

. 55

cos(A B) cosAcosB sinAsinB

. 10

. 10

故cosC cos

(A B) cos(A B) 【方法技巧】对于本题的第（I）可用向量求解.

解法如下：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O， 以Ox为始边作角 ， ，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A，B

OB (cos ,sin )， (cos ,sin )则A，B

OA (cos ,sin )，OB (cos ,sin )，

OA OB OAOBcos( ) cos( )

OA OB cos cos sin sin ，

∴cos( ) cos cos sin sin .

0, 由向量数量积的概念可知，须 [0,π ]，

则

,2

时，2 ( ) (0,π ]， 0,

，故对任意的 ， ，

OA OB cos 2 ( ) cos( )

都有cos( ) cos cos sin sin 成立.

cos( ) cos ( ) cos cos( ) sin sin( )

cos cos sin sin .

11.（2010·四川高考文科·Ｔ19）

1证明两角和的余弦公式C :cos( ) cos cos sin sin ； （Ⅰ）○

2由C 推导两角和的正弦公式S :sin( ) sin cos cos sin . ○

（Ⅱ）已知cos , ( ,

4

531

),tan , (, ),cos( ) ). 求cos( 232

【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力.

本题的（Ⅰ）①②为课本上的内容，体现出试题源于课

本的特点.

【思路点拨】（Ⅱ）分别求出sin ,sin ,cos 的值，套用公式求解. 【规范解答】（Ⅰ）同理T19 (Ⅱ）∵ ( , ),cos

3

243，∴sin = . 55

，sin . ∵tan ,

(

1

3

2

, )，∴cos

43. ( ) cos( )

cos cos sin sin ( ) (55关闭Word文档返回原板块。