第4章 正弦交流电路4.1 正弦量的基本概念

4.24.3

正弦量的相量表示法基尔霍夫定律和电路元件的相量形式

4.44.5

复阻抗和复导纳正弦电路的分析

4.6

正弦电路中的功率

学习要点 掌握正弦量、电路元件及其伏安特性的相量表示； 熟练掌握复阻抗、复导纳的定义及计算，掌握电路 定律的相量形式(重点掌握基尔霍夫定律，了解节 点电压法、叠加定理、戴维南定理的相量形式), 掌握正弦稳态电路的相量分析方法，能利用该方法 对基本正弦电路进行计算，理解相量图分析法；深 刻理解正弦交流电路各种功率和功率因数的意义， 掌握计算方法，了解提高感性网络功率因数的意义 及工程方法。理解交流电路最大功率传输的条件。

4.1 正弦量的基本概念正弦量： 随时间按正弦规律做周期变化的量。 i u i

i+ u _

R

正弦交流电的优越性： 正半周 便于传输；易于变换 便于运算； 有利于电器设备的运行； . . . . .

_

+

_

t

+ u _ _

R

负半周

设正弦交流电流：

正弦量的三要素 i

Im

i I m sin t i I m cos t 90 I m cos t

2

t

O

T

本课程采用余弦表示方式

初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢 幅值：决定正弦量的大小

幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。

4.1.1 频率与周期周期T:变化一周所需的时间 (s) 1 f (Hz) 频率f: T 2π 角频率： ω 2πf (rad/s) T iO T

t

* 电网频率：我国 50 Hz ,美国 、日本 60 Hz *中频炉频率：几十 ~ 几千赫兹(kHZ) *高频炉频率：几千赫 ~十几千赫兹(kHz) * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz

4.1.2 幅值与有效值幅值：Im、Um、Em

幅值必须大写, 下标加 m。

有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流 电的有效值。

0

T

2 i 2 R dt I RT 交流 直流

则有有效值必 须大写

I

1 T

T

0

i 2dt

1 T

T

0

I sin ω t dt 2 m 2

Im 2

同理： U

Um 2

E

Em 2

注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值

4.1.3初相位与相位差相位： t

i Im cos(ωt )i O

初相位： 正弦量在 t =0时的相位

( t ) t 04.1.4正弦量的比较

ωt

相位差Δ :两同频率的正弦量之间的初相位之差。u 如： U m cos( ω t 1 ) i Im cos( ω t 2 )

( t 1 ) ( t 2 ) 1 2

u U mcos( ω t 1 )

i Imcos( ω t 2 ) 2 1 0 电流超前电压 1 2 0 电压滞后电流

电压与电流同相 u i u i O

1 2 0

1 2 180 电压与电流反相 u i u i O

ωt12

ωt

注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。

i i 1

i2 t

O

② 不同频率的正弦量比较无意义。

4.2 正弦量的相量表示法.1.正弦量的表示方法瞬时值(三角函数) 正弦量 表示法 直观，但不便于分析计算

波形图相量图 便于完成正弦量的加减乘除运算

相量式(复数)

前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

2.正弦量用旋转矢量表示 y ω UmO

u

u U m cos ( t )

Um

x

ωUm

O

ωt

O

矢量长度 = Um ,初相位= , 以速度 逆时针方向旋转，在 y 横轴的投影。 旋转矢量图又 可以简化为 初始向量

u

O

Um ω

x

t

3. 正弦量的相量表示——将旋转矢量置于复平面内，只要给定初始向量， Im(+j) 就可以确定正弦量。 a Re 可以用复数式表示 0

初始向量A的复数表示形式： (1)模值∠辐角→ (2) 三角式

b

r

A r —极坐标式

A

A r cos j r sin r (cos j sin )(3) 代数式A =a + jb 式中: a r cos

b r sin

r a 2 b 2 复数的模 b arctan 复数的辐角 a

(4) 指数式

e e j , 由欧拉公式: cos 2 e j cos jsin 可得:

A r e j j

e e sin 2j

j

j

A a jb r cos j rsin re r

j

设正弦量: u Umcos( ωt ) 相量表示: 表示正弦量的复数称相量

U Ue

j

U

相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角

电压的有效值相量

或：

U m Um e U m

j

相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角

电压的幅值相量

运算法则：

加减可用图解法

若u1

2U1 cos( t 1 ) , 2U 2 cos( t 2 )

u2

求 u = u1±u2 = ? 可以借助于复数运算

令：u1 2U1 cos( t 1 ) U 1 U1 1 a1 jb1u2 2U2 cos( t 2 ) U 2 U2 2 a2 jb2U 1 U 2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) b1 b2 (a1 a2 ) (b1 b2 ) tan U U a1 a2 b1 b2 2 2 U (a1 a2 ) (b1 b2 ) , arctan u 2U cos( t ) a1 a2 2 2 1

注意:

①相量是旋转矢量的初始状态，不同于矢量、向量， 也可以用复数表示。②相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。

i Imsin(ωt ) I m e j I m =③只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相 量表示。 ④只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 I 相量图 U

?