最小二乘法的基本原理和多项式拟合

多项式拟合

第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理　

从整体上考虑近似函数 p(x)同所给数据点(xi,yi)(i=0,1,…,m)误差ri=p(xi) yi(i=0,1,…,m)　的大小，常用的方法有以下三种：一是误差ri=p(xi) yi(i=0,1,…,m)绝对值的最大

ri，即误差 向量r=(r,r,Lr)T的∞—范数；二是误差绝对值的和∑值maxm010≤i≤mi=0

2

r∑ii=0m

m

ri

，即误差向

量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法

简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合

r∑中常采用误差平方和

i=0m

2i

来 度量误差ri(i=0，1，…，m)的整体大小。　

数据拟合的具体作法是：对给定数据 (xi,yi) (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求

p(x)∈Φ,使误差ri=p(xi) yi(i=0,1,…,m)的平方和最小，即

r∑[p(x) y]∑    =

2i

i

i

i=0

i=0

mm

2

=min

从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xi,yi)(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线　

y=p(x)（图6-1）。函数p(x)称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲

线拟合的最小二乘法。

　在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法.

6—1

二 多项式拟合　

假设给定数据点(xi,yi)(i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过n(n≤m)的多项式构成的函数

pn(x)=∑akxk∈Φ

k=0n

类，现求一,使得

多项式拟合

2

I=∑[pn(xi) yi]=∑ ∑akxik yi =min

      (1)i=0i=0 k=0

mmn

2

当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的pn(x)称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。　

显然　

I=∑(∑akxik yi)2

i=0

k=0m

n

为a0,a1,Lan的多元函数，因此上述问题即为求I=I(a0,a1,Lan)的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得

mn

I

=2∑(∑akxik yi)xij=0, aji=0k=0

j=0,1,L,n

      (2)

即

∑(∑x　

k=0

i=0

nm

j+ki

)ak=∑xijyi,

i=0

m

j=0,1,L,n

         (3)

（3）是关于a0,a1,Lan的线性方程组，用矩阵表示为

m+1 m x

i

∑i=0 M m

∑xin i=0

∑xi

2

x∑ii=0i=0m

m

∑x

i=0

m

M

n+1i

n xy∑i ∑i ai=0 =0i0 m m

n+1 a L∑xi 1 ∑xiyi

= i=0 i=0

M

M M

a m m

n2n n ∑xiyi L∑xi

i=0       (4)i=0 L

m

m

式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。　

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出ak(k=0,1,…，n)，从而可得多项式　

n

pn(x)=∑akxk

k=0

　        (5)

可以证明，式（5）中的pn(x)满足式（1），即pn(x)为所求的拟合多项式。我们把

∑[p

i=0

m

n

(xi) yi]

2

称为最小二乘拟合多项式pn(x)的平方误差，记作　

r

22

=∑[pn(xi) yi]

i=0

m

2

由式(2)可得　

多项式拟合

r

22=∑yi2 ∑ak(∑xikyi)

i=0

k=0

i=0

mnm

         (6)　

多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：

 (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；　

∑x

(2) 列表计算

i=0

m

ji

(j=0,1,L,2n)

∑x和

i=0

m

ji

yi

(j=0,1,L,2n)

；　

(3) 写出正规方程组，求出a0,a1,Lan；　

pn(x)=∑akxk

k=0n

(4) 写出拟合多项式。　

在实际应用中，n<m或n≤m；当n=m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 　

例1 测得铜导线在温度Ti(℃)时的电阻Ri(Ω)如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。　

i Ti(℃)Ri(Ω)

0 19.176.30

1 25.077.80

2 30.179.25

3 36.080.80

4 40.082.35

5 45.183.90

6 50.0 85.10

解  画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为

R=a0+a1T

列表如下

i 0 1 234 5 6Ti

Ri

Ti

2

TiRi

∑

19.1 25.0 30.136.040.0 45.1 50.0245.376.30 77.80 79.2580.8082.35 83.90 85.10565.5364.81 625.00 906.011296.001600.00 2034.01 2500.009325.831457.330 1945.000 2385.425 2908.800 3294.000 3783.890 4255.000 20029.445

正规方程组为　

245.3 a0 565.5 7

245.39325.83 a = 20029.445 1

解方程组得　

多项式拟合

a0=70.572,

故得R与T的拟合直线为　

a1=0.921

R=70.572+0.921T

利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度　T=-242.5℃时，铜导线无电阻。　

6-2

例2 已知实验数据如下表　    

ixi

01 1013 524 435 246 157 168 279 38 10 4

yi

试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。　 解   …… 此处隐藏：3135字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……