习题三

3–7试求下列函数的傅里叶变换：

（1）f(t)=e

解：f(t)=e (2+2t)δ(t) (2+2t)δ(t)=e 2δ(t)，其傅里叶变换为F(jω)=e 2。

（5）f(t)=g2π(t) cos6t

解：因为g2π(t) 2πSa(πω)，根据调制定理

f(t) cos(ωct) 1{F[j(ω+ωc)]+F[j(ω ωc)]}2

可得：F(jω)=π[Saπ(ω+6)+Saπ(ω 5)]

3–9试应用调制定理，求题3–9

图所示信号的傅里叶变换。

题3–9图

解：图所示信号的函数表达式为：f(t)=g4(t) cos2πt

因为g4(t) 4Sa(2ω)，根据调制定理

f(t) cos(ωct) 1{F[j(ω+ωc)]+F[j(ω ωc)]}2

可得：F(jω)=2[Sa2(ω+2π)+Sa2(ω 2π)]

3–12利用常用信号的傅里叶变换及傅里叶变换的频移性质，求题3–12图所示频谱的反变换。

(a)(b)

题3–12图

解：（a）图所示F(jω)的函数表达式为

F(jω)=[ε(ω+5) ε(ω+3)]+[ε(ω 3) ε(ω 5)]

也可表示为：F(jω)=[g2(ω+4)+g2(ω 4)]

因为1

πSa(t) g2(ω)，根据频移性质可得F(jω)的反变换为

f(t)=1

πSa(t)e j4t+1

πSa(t)ej4t=2

πSa(t) cos(4t)

（b）另F0(jω)的图形为ω

则题所示信号的频谱可表示为：F(jω)=[F0(ω+4)+F0(ω 4)]

又因为可表示为F1

0(jω)=2g(ω) g1

22(ω)，而πSa(t) g2(ω)

根据频域卷积性质，可得F)的傅里叶反变换为f1

0(jω0(t)=πSa(t) Sa(t)

再根据频移性质可得F(jω)的反变换为

f(t)=2

π

Sa2(t) cos(4t)

3–18已知某LTI系统的频率响应H(jω)=1，若输入信号为jω+2

（1）e(t)=sint

试求系统的稳态响应y(t)。（2）e(t)=cos3t

解：因为当e(t)=sinω0t时的稳态响应为：

yss(t)=H(jω0) sin[ω0t+ (ω0)]，其中，H(jω0)和 (ω0)分别是H(jω)ω=ω的模和辐角。0

（1）当e(t)=sint，响应频率ω0=1

因为H(jω)ω=111 arctg2==ej+211sin[t arctg()]251所以，yss(t)=

（2）当e(t)=cos3t，响应频率ω0=3

因为H(jω)ω=311 arctg2==e3j+213sin[t arctg(23所以，yss(t)=

3–19已知系统如题3–19图所示，其中e(t)=4cos50t cos600t，s(t)=cos600t，H(jω)=ε(ω+100) ε(ω 100)为理想低通滤波器，试求系统响应y

(t)。

题3–19图

解：设乘法器输出端的信号为x(t)，则x(t)=e(t) s(t)=e(t) cos600t

则x(t)的频谱函数为X(jω)=1{E[j(ω+600)]+E[j(ω 600)]}2

因为e(t)=4cos50t cos600t，其频谱图如下图所示

xH(jω)=ε(ω+100) ε(ω 100)为理想低通滤波器，滤除角频率大于100的部分，所以，y(t)根据y(t)的频谱图，可知y(t)的函数表达式为：y(t)=2cos50t

3–20在如题3–19图所示的系统中，若H(jω)是如题3–20图所示的带通滤波器（相频特性 (ω)=0），乘法器的两个输入信号为

e(t)=

试求系统的输出信号y

(t)。sin(4t)，ts(t)=cos500t

题3–19

图

题3–20图

解：设乘法器输出端的信号为x(t)，则x(t)=e(t) s(t)=e(t) cos500t

则x(t)的频谱函数为X(jω)=

因为e(t)=1{E[j(ω+500)]+E[j(ω 500)]}2sin(4t)=4Sa(4t)，其频谱函数E(jω)=πg8(ω)，频谱图如下图所示

t

H(jω)为带通滤波器，滤波之后，得到y(t)的频谱图为：

根据y(t)的频谱图，可写出其频谱函数表达式为

Y(jω)=π[g2(ω+500)+g2(ω 500)]2

根据调制特性，可写出y(t)的函数表达式为：y(t)=Sa(t)cos500t

3–24信号f1(t)和f2(t)的频谱F1(jω)和F2(jω)如题3–24图所示，试求对下列信号进行时域抽样时的奈奎斯特抽样频率。

（1）f1(t)

（4）f1(t) f2(2t)12（2）f2(t)（5）f

1(t)+f2(2t)3（3）f1(t) f2(t)

题3–24图

解：根据f1(t)和f2(t)的频谱图可知f1(t)的最高频率为fm1=150KHz，f2(t)的最高频率为fm2=100KHz。

（1）f1(t)是f1(t)在时域中的扩展，其频谱是f1(t)的2倍，即f1(t)的最高频率是300KHz，故对f1(t)进行时域抽样时，奈奎斯特抽样频率为600KHz。12121

2

（2）f2(t)是f2(t)频谱的3倍，即f2(t)的最高频率是300KHz，故对f2(t)进行时域抽样时，奈奎斯特抽样频率为600KHz。

333

（3）f1(t) f2(t)的频谱是f1(t)与f2(t)的频谱在频谱卷积的结果，其频带宽度是二者带宽之和，故f1(t) f2(t)的最高频率是150+100=250KHz，故对f1(t) f2(t)进行时域抽样时，奈奎斯特抽样频率为500KHz。

（4）f1(t) f2(2t)的频谱是f1(t)与f2(2t)的频谱在频谱相乘的结果，其频带宽度与二者中窄者的带宽相同，因为f1(t)的最高频率为150KHz，f2(2t)的最高频率为200KHz，所以f1(t) f2(2t)的最高频率是150KHz，故对f1(t) f2(2t)进行时域抽样时，奈奎斯特抽样频率为300KHz。

（5）f1(t)+f2(2t)的频谱是f1(t)与f2(2t)的频谱在频谱相加的结果，其频带宽度与二者中宽者的带宽相同，因为f1(t)的最高频率为150KHz，f2(2t)的最高频率为200KHz，所以f1(t)+f2(2t)的最高频率是200KHz，故对f1(t)+f2(2t)进行时域抽样时，奈奎斯特抽样频率为400KHz。

3–25一个带限信号e(t)的频谱如题3–25图（a）所示，试画出e(t)通过如题3–25图（b）所示系统时，系统中A、B、C、D

各点的频谱图。

(a)

(b)

题3–25图

解：fA(t)=e(t) cos6ω0t，其频谱图如下所示：

0000经过H1(jω)滤波后，得到信号fB(t)，其频谱图为：

0000因为fC(t)=fB(t) cos4t，所以fC(t)的频谱为：

00

H2(jω)对于信号fC(t)来说是全通网络，故输出信号fD(t)的频谱图与fC(t)的频谱相同，即：

00