等差数列的性质课件2

等差数列的三条性质,两项关系,中项关系,多项关系

等差数列(二)

等差数列的三条性质,两项关系,中项关系,多项关系

知识回顾如果一个数列从第2项起，每一项与 定义 — AAAAAAAAAAAAA 它前一项的差 等于同一个常数. . . . . . . — 等差数列 递推公式(定义式) a n 1 a n d 通项公式 — an=a1+(n-1)d 几何意义 — 等差数列各项对应的点都

在同一条直线上.

【说明】

AAA①公式中 n N d R②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式， 当d=0时，为常函数。

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复习巩固：一、判定题：下列数列是否是等差数列？①. 9 ,7,5,3,……, -2n+11, ……; ②. -1,11,23,35,……,12n-13,……; ③. 1,2,1,2,………………;

√ √

×× √

④. 1,2,4,6,8,10, ……;⑤. a, a, a, a, ……, a,…… ;

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二、填空题：-4 (1)等差数列8,5,2,…,的第5项是 AA AAAAAAA . a (2)等差数列-5,-9,-13,…的第n项是A n = -5+(n-1) (-4)(3)已知{an}为等差数列，a1=3,d= 2 ,an=21,则n = 10 【说明】

在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，可求出

另外一个

简言之————“知三求四”这里包含函数思想和方程思想

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性质一、任意两项的关系

在等差数列 a n 中，有an am (n m )d 或 d an am n m

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性质二、等差中项观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为 一个等差数列： (1)2 , 3 , 4 (2)-1, 2 ,5

(3)-12, -6 ,0

(4)0, 0 ,0

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。

A

a b 2

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1、若a, b, c成等差数列，那么b

a c 2

;2b a c;

b a c b; a b b c都是等价的。2、在等差数列 an } { 中是否有an 1 an 2 ) ?3 、在数列 an } { 中有an 1 1 2 ( an an 2 )

1 2

( an

( n为任意的正整数), 那么 an }一定 { 是等差数列吗 ?

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思考：引入：等差数列的等差 中项，我们有 a 3 a 15 2 a 9 , a 1 a 17 2 a 9 等差数列

a n 中，若

m n p q , 那么

a m a n 与 a p a q 间存在什么样的关系？

am an a p aq

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性质三、多项关系

数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq。 推广： 若m+n=2p,则am+an=2ap。

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判断对错：

(1)a

3

a 5 a1 a 7

(2)a 1 a 4 a 6 a 3 a 8

(3)a 1 a 5 a 6 a 2 a 3 a 7(4)a3

a 4 a 5 3a 4

可推广到三项，四项等

注意：等式两边作和的项数必须一样多

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例题分析1、已知：数列的通项公式为 an=6n-1 问这个数 列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差 分别是多少？分析：由等差数列定义只需判断an-an-1(n≥2,n∈N) 的结果是否为常数。 解：∵an-an-1=6n-1-[6(n-1)-1]=6(常数)

∴{an}是等差数列，其首项为a1=6×1-1=5,公差为6.

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例题分析例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20 解：由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20,可 得a1+a20=10 (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8解： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10, ∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=153 2

(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差d.解： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①又 a4a7=187 ② , 解 ①、 ② 得

a4= 17a7= 11

或

a4= 11 a7= 17

∴d= _2或2, 从而a14= _3或31

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课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2

提示1:

2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= -35 提示： d=an+1—an= -4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70,a80=112,求a101; d=2, (2) 若ap= q,aq= p ( p≠q ),求ap+q

a101=154

d= -1, ap+q =0

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研究性问题1. 若a12=23,a42=143, an=263,求n. d= 4 n=72

2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ,d= -1 ,求a 3 ?a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27 3. 三数成等差数列，它们的和为12,首尾二数的 积为12,求此三数. 6,4,2或2,4,6设这三个数分别为a-d a,a+d,则3a=12,a2-d2=12

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小结：1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b (k、b为常数)

2. a、b、c成等差数列 a c b 2

b为a、c 的等差中项AA

2b= a+can am n m

3.更一般的情形，an=

am+(n - m) d ,d=

4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；

am+an=ap+aq

5. 在等差数列{an}中a1+an

=

a2+ an-1 = a3+ an-2

=…