高三数学 专题

专题三函数、基本初等函数 的图象与性质

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函数、基本初等函数

的图象与性质主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

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1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查 以基础知识为主，难度中等偏下. 2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内 容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用

考 对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期 情 解 性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以 读 选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.3

图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；

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主干知识梳理1.函数的三要素 定义域、值域及对应关系

两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定 义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符

号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.

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(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质 .偶函数 的图象关于 y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间 上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，

在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质 .若函数 在其定义域上满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其一个周期 T=|a|.

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3.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图 象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、 对称变换.

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4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1) 指 数 函 数 y = ax(a>0 , a≠1) 与 对 数 函 数 y = logax(a>0 , a≠1) 的图象和性质，分 0<a<1 , a>1 两 种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共 性质. (2)幂函数y=xα的图象和性质，分幂指数 α>0,α<0 两种情况.

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热点分类突破

热点一 热点二 热点三

函数的性质及应用函数的图象 基本初等函数的图象及性质

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热点一

函数的性质及应用

例1 (1)(2014· 课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0, + ∞)单调递减，f(2)= 0.若 f(x- 1)>0,则 x的取值范 围是________.思维启迪 利用数形结合，通过函数的性质解不等式；

解析

∵f(x)是偶函数，

∴图象关于y轴对称.又f(2)=0,且f(x)在[0,+∞)单调递减，

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则f(x)的大致图象如图所示，

由f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3. 答案 (-1,3)

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(2)设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t), 3 1 2 且 x∈ 0

, 时，f(x)=-x ,则 f(3)+f - 的值等于______. 2 2 思维启迪

1]时的解析式探求f(3)和f(- 3 )的值. 利用f(x)的性质和x∈[0, 2解析 根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t) =f(1+t), 即f(t+1)=-f(t),进而得到

2

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f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),

得函数y=f(x)的一个周期为2, 3 1 1 f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f - =f =- . 4 2 2 3 1 1 f(3)+f - =0+ - =- . 4 2 4

故

所以

1 答案 - 4

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函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期

思 性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的 维 条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系， 升 华 推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

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变式训练1 (1)(2013· 重庆)已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R), f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))等于( A.-5 B.-1 C.3 D.4 C )

解析 lg(log210)=lg

1 =-lg(lg 2), lg 2

由f(lg(log210))=5,得a[lg(lg 2)]3+bsin(lg(lg 2))=4-5=-1, 则f(lg(lg 2))=a(lg(lg 2))3+bsin(lg(lg 2))+4=-1+4=3.

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(2)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+ 2 f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________. -2, 3

解析 易知f(x)为增函数. 又f(x)为奇函数，由f(mx-2)+f(x)<0知， f(mx-2)<f(-x).

∴mx-2<-x,即mx+x-2<0,令g(m)=mx+x-2,由m∈[-2,2]知g(m)<0恒成立，

g -2 =-x-2<0 2 即 ,∴-2<x< . 3 g 2 =3x-2<0

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热点二

函数的图象

10ln|x+1| 例 2 (1)下列四个图象可能是函数 y= 图象的 x+ 1 是( )思维启迪 可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象.