高中理科数学数列知识点和解题方法大全

发布时间：2024-11-12

一、高中数列知识点总结21. 等差数列的定义与性质22. 等比数列的定义与性质3二解题方法41 求数列通项公式的常用方法4(1)求差(商)法4(2)叠乘法4(3)等差型递推公式4(4)等比型递推公式5(5)倒数法52 求数列前n项和的常用方法6 (1) 裂项法6(2)错位相减法6(3)倒序相加法7

一、高中数列知识点总结 ................................................................................. 2 1. 等差数列的定义与性质 .......................................................................... 2 2. 等比数列的定义与性质 .......................................................................... 3 二解题方法 ..................................................................................................... 3 1 求数列通项公式的常用方法 ................................................................. 3 （1）求差（商）法 ............................................................................... 3 （2）叠乘法 ........................................................................................... 4 （3）等差型递推公式 ........................................................................... 4 （4）等比型递推公式 ........................................................................... 4 （5）倒数法 ........................................................................................... 5 2 求数列前n项和的常用方法 ................................................................. 5 (1) 裂项法 .......................................................................................... 5 （2）错位相减法 ................................................................................... 6 （3）倒序相加法 ................................................................................... 6

1 在学习中快乐，在快乐中学习

一、高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an 1 an d（d为常数），an a1 n 1 d 等差中项：x，A，y成等差数列 2A x y 前n项和Sn

a1 an n na

n n 1 2

性质： an 是等差数列

（1）若m n p q，则am an ap aq；

（2）数列 a2n 1 , a2n , a2n 1 仍为等差数列，Sn，S2n Sn，S3n S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a d，a，a d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m 1

bmT2m 1

（5） an 为等差数列 Sn an2 bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn an2 bn的最值；或者求出 an 中的正、负分界

项，

an 0

即：当a1 0，d 0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.

a 0 n 1 an 0

当a1 0，d 0，由可得Sn达到最小值时的n值.

a 0 n 1

(6)项数为偶数2n的等差数列 an

，

有

S2n n(a1 a2n) n(a2 a2n 1) n(an an 1)(an,an 1为中间两项) S偶 S奇 nd，

S奇S偶

. an 1

2 在学习中快乐，在快乐中学习

（7）项数为奇数2n 1的等差数列 an

S2n 1 (2n 1)an(an为中间项)，

，

有

S奇 S偶 an，

S奇S偶

n. n 1

2. 等比数列的定义与性质

定义：

an 1

q（q为常数，q 0），an a1qn 1

.an

等比中项：x、G、y成等比数列 G2

xy，或G

na1(q 1)

前n项和：Sn a1 1 qn （要注意！）

(q 1)

1 q

性质： an 是等比数列

·an ap·aq （1）若m n p q，则am

（2）Sn，S2n Sn，S3n S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？

n 1时，a1 S1； n 2时，an Sn Sn 1.

二解题方法

1 求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法

111

如：数列 an ，a1 2a2 …… nan 2n 5，求an

222

3 在学习中快乐，在快乐中学习

解 n 1时，a1 2 1 5，∴a1 14 ①

2111

n 2时，a1 2a2 …… n 1an 1 2n 1 5 ②

222

①—②得：

14(n 1)1n 1

a a 2，∴，∴ a 2 n 1nnnn

2 2(n 2)

［练习］数列 an 满足Sn Sn 1 an 1，a1 4，求an

注意到an 1 Sn 1 Sn，代入得

Sn 1

4又S1 4，∴ Sn 是等比数列，Sn 4n Sn

；

·4n 1 n 2时，an Sn Sn 1 …… 3

（2）叠乘法

如：数列 an 中，a1 3n 1 ，求an

ann 1

解

aa1a2a3312n 1

……n ……，∴n 又a1 3，∴an

a1nn. a1a2an 123n

（3）等差型递推公式

由an an 1 f(n)，a1 a0，求an，用迭加法

a3 a2 f(3)

n 2时，两边相加得an a1 f(2) f(3) …… f(n)

………… an an 1 f(n)

a2 a1 f(2)

∴an a0 f(2) f(3) …… f(n) ［练习］数列 an 中，a1 1，an 3

n 1

an 1 n 2 ，求an

（

3 1 2）

（4）等比型递推公式

an can 1 d（c、d为常数，c 0，c 1，d 0）

4 在学习中快乐，在快乐中学习

可转化为等比数列，设an x c an 1 x an can 1 c 1 x 令(c 1)x d，∴x

d dd

，∴ an ，c为公比的等比数列是首项为a1

c 1c 1c 1

∴an

dd n 1d n 1d ，∴ a1 ·ca a c n 1

c 1 c 1 c 1 c 1

（5）倒数法

如：a1 1，an 1

2an

，求an an 2

由已知得：

a 2111111 n ，∴ an 12an2anan 1an2

1 11111

∴ 为等差数列， 1，公差为，∴ 1 n 1 · n 1 ，

a12an22 an ∴an

n 1

(附：公式法、利用

S1(n 1)

Sn Sn 1(n 2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an 1 pan q或an 1 pan f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、

换元法)

2 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： an 是公差为d的等差数列，求

aak 1kk 1

解：由

111 11

d 0

ak·ak 1akak dd akak 1

5 在学习中快乐，在快乐中学习

111 11 1 11 11 1

∴ …… aadaadaaaaaak 1kk 1k 1k 1 2 3 n 1 k 2 n 1

1 11 d a1an 1

［练习］求和：1

111

……

1 21 2 31 2 3 …… n

1 an …… ……，Sn 2

n 1

（2）错位相减法

若 an 为等差数列， bn 为等比数列，求数列 anbn （差比数列）前n项和，可由

Sn qSn，求Sn，其中q为 bn 的公比.

如：Sn 1 2x 3x2 4x3 …… nxn 1

①

x·Sn x 2x2 3x3 4x4 …… n 1 xn 1 nxn

②

①—② 1 x Sn 1 x x2 …… xn 1 nxn

x 1时，Sn

1 x nx

1 x

，x 1时，Sn 1 2 3 …… n

n n 1 2

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sn a1 a2 …… an 1 an

相加2Sn a1 an a2 an 1 … a1 an …

Sn an an 1 …… a2 a1

［练习］已知f(x) ，则 2

1 x

f(1) f(2) f f(3)

2 1

f f(4) 3 1

f 4

6 在学习中快乐，在快乐中学习

1 x2x21x 1 1由f(x) f 2222

x1 x1 x1 x 1

1 x

∴原式 f(1) f(2)

f f(3) 2

f f(4) 3

1 1 1

f 1 1 1 3

2 4 2

(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 )

7 在学习中快乐，在快乐中学习

8 在学习中快乐，在快乐中学习

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