第三章向量空间习题答案

1.设 v (1, 1,1)T , v (2,1,3)T , v (2,1,3)T , 1 2 3求 v1 v2 , 及 3v1 2v2 v3. 解：

v1 v2 (1, 2, 1)T3v1 2v2 v3 (5, 4,2)T

2.设 3( 1 ) 2( 2 ) 5( 3 )3 1 3 2 2 2 5 3 5 3 1 2 2 5 3 5 3 2 6 1 (3 1 2 2 5 3 ) (1,2,3,4)T 6

3.判别下列向量组的线性相关性：(方法一)定义法 x 令： 1 1 x2 2 x3 3 , 代入讨论 x1, x2 , x3 解的情况

(方法二)求秩法行变换 ( 1 , 2 , 3 ) 行的阶梯形

求 R( 1, 2 , 3 ) 是否等于3 (方法三)行列式法 求 1, 2 , 3 是否等于0

4.同书上例题，令

x1b1 x2b2 x3b3 ,

代入 b1 , b2 , b3 , 利用 1, 2 , 3 ,线性无关， 讨论 x1 , x2 , x3 , 是否全为0 5.利用定义能相互表出即等价 1 1 1 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 4 0 所以T是可逆的 T 1 1 1 1 1 1

令

( 1, 2 , 3 )T 1 ( 1, 2 , 3 )所以两组之间相互表出即等价 6. 1 0 2 0 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 0 1 0 3 0 0 0 0

所以 1 , 2 , 是向量组的一个极大无关组 其余向量表示为 3 2 1 , 4 3 2

7. (方法一) (已知)

1 , 2 n 能由 1, 2 n 线性表出 (定理) 1, 2 n 能由 1 , 2 n 线性表出 1, 2 n 与 1 , 2 n 等价R( 1, 2 n ) R( 1 , 2 n ) n

1, 2 n 线性无关 (方法二) 1 , 2 n 能由 1 , 2 n 线性表出 n R( 1, 2 n ) R( 1 , 2 n ) n R( 1 , 2 n ) n (无关)

8. (方法一)

a 1 (已知) 4 a 1 b 2 2 1 4 b b ac c 5 1 d 3 4 b b R( 1, 3 , 4 , 5 ) 4再令 x1 1 x2 3 x3 4

x1 1 x2 3 x3 (a 1 b 2 ) ( x1 ax3 ) 1 bx3 2 x2 3

因为 1 , 2 , 3 线性无关

x1 ax3 0 bx3 0 x 0 2

x1 0 x2 0 x 0 3

1 , 2 , 4 线性无关R( 1, 3 , 4 , 5 ) 3

(方法二)

(1) 1 , 3 , 4 , 5 一定可由 1, 2 , 3 线性表出 (2) 2 a 1 4 ,

1, 2 , 3 也可由 1 , 3 , 4 , 5 线性表出 1, 2 , 3 与 1 , 3 , 4 , 5 等价R( 1 , 3 , 4 , 5 ) R( 1, 2 , 3 ) 3

1 0 0 a 0 (方法三) 0 1 0 b c ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ~ 0 0 1 0 d

1 0 a 0 0 0 b c ( 1 , 3 , 4 , 5 ) ~ 0 1 0 d 1 a 0 0 0 b 0 c ~ 0 0 1 d

由于 a, b, c, d

均不为0

R( 1, 3 , 4 , 5 ) 3(*方法四)令 x1 1 x2 3 x3 4 x4 5

( x1 ax3 ) 1 (bx3 cx4 ) 2 ( x2 dx4 ) 3 x1 ax3 0 x1 ax3 b bx3 cx4 0 x4 x3 x dx 0 c 4 2 x bd x 2 c 3

9.解：(方法一)

R( AB) 1 R ( AB) min R ( A), R( B)

R( A) R ( B) 1

1 R( AB) 1

R( AB) 1

1 2 AB 1 2 n n 1 1 n n 2n 2(n 1) 2 n n 1 1 n 2 n(n 1) n 0 0 0 ~ R( AB) 1 0 0

(方法二)

10.解：

1 0 A行 ~ 0 0

1 2 1 3 3 1 0 0 0 0

2 1 1 3 3 0 0 4 0

R( A) 3

所以A的一个最高阶非零子式为

2

1

1

1 1 1 4 6 2

11.解：

2 0 3 1 2 1 0 4 4 8 0 1 A~ ~ 0 t 2 0 t 2 5 t 7 0 2 2 4 0 0 1 0 ~ 0 0 2 1 3 2 0 3 t t 3 0 0 0 0 1

0 1

3 2 5 t 7 0 0

R( A) 23 t 0 t 3

12.解：

1 1 5 3 0 1 3 2 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 行 ~ 0 0 0 0 0 0 ( 1, 2 , 3 , 4 ) 0 0 R( A) 2

由于

1 , 2 是 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大无关组

所以 1 , 2 是 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大无关组