2019-2020学年高中数学2.3等差数列的前n 项和第二课时等差数列

的前项和的应用学案新人教A 版必修

一、 课前准备

1.课时目标：搞清等差数列求和公式的推导及应用，利用等差数列前n 项和的性质解决数列问题，掌握等差数列和的性质，培养学生利用数形结合的思想解决问题的方法，能够利用等差数列的和解决实际问题.

2.基础预探：

(1)等差数列前n 项和的公式的有两种形式①_____与②_____.

(2)常用的等差数列前n 和的性质①_____；②_____；③_____.

（3）若数列{},{}n n a b 均为等比数列，且前n 项的和分别为n S 和T n ，那么___.m m a b =

（4）利用等差数列求和公式解决应用问题一般确定首项，公差与___.

二、基础知识习题化

（1）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=

（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35

（2）数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）

（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64

（3）设等差数列

{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 （4）设等差数列

}{n a 的前n 项和为,36,9,63==S S S n 若则987a a a ++= （ ）

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

（5）设n S 为等差数列

{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 。

三、学习引领

等差数列的前n 项和的公式的(1)2n n n S na d -=+是关于n 二次函数，注意没有常数项，若有常数项不为等差数列，利用等差数列求和计算问题，首先要考虑等差数列的性质，能利用性质解决问题就利用性质来解决，遇到等差数列求和的最值问题要注意利用数形结合思想来解决，在解实际问题时，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键，注意确定首项，公差与项数；注意把所有量都用基本量1,a d 来表示，变量归一从而发现其中的规律，这就是基本思想与方法，树立目标意识，需要什么就求什么，充分合理的运用条件，时刻注意题目的目标往往也能取得与巧用性质相同的效果，从而提高思维的灵活性和对知识掌握的深刻性.

四、典型例题

题型一 有n S 证明等差数列

数列{}n a 的前n 项和为

*()n n S npa n N =∈且12a a ≠， 求常数P 的值；

证明：数列

{}n a 是等差数列

变式训练 1.数列{}n a ，*

n a N ∈，n S 是前n 项和，21(2)8n n S a =+ 求证：{}n a 是等差数列； 设1302n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和的最小值.

题型二应用问题

例2 2015年“七上八下”的防汛关键时刻，某抗洪指挥部接到预报，24销售后有一洪峰到达，为确保安全指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道放线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道放线？

思路导析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道放线工程.

变式训练

2.若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？

题型三利用等差数列和的性质解题

例3 设等差数列{},{}

n n

a b

的前n项的和分别为

,

n n

S T

，若

2

3+1

n

n

S n

T n

=

，

则

6

3

a

b

的值为（）

A.2

B.1

C. 5

11 D.

3

8

变式训练 3. 已知等差数列{}

n

a

是公差不为零的等差数列，且

2

2

2

2

m

n

S m m

S n n

-

=

-

，求

m

n

a

a