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第3章※ ※

力系的平衡

平面汇交力系的平衡 平面力偶系的平衡

※※ ※

平面任意力系的平衡条件与平衡方程空间力系的平衡方程 结论与讨论

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§3.1平面汇交力系的平衡1. 平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。

FR 0 即

Fi 0i 1

n

F3

F2

F4

F3 F2 F4

F1A

F5

F1 A

FR

结论：平面汇交力系平衡的必 要和充分条件是：该力系的力 多边形自行封闭。

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例 题 1

已知：P,aPC

2aD

求：A、B处约束反力。a

解： (1)取刚架为研究对象 (2)画受力图 (3)按比例作图求解 由图中的几何关系得FA

A

B

FB

FB P tan 0.5P2 2 B

FA

FB

P

5 FA P F P 2

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2. 平面汇交力系解析法平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。2 2 FR FRx FRy ( X )2 ( Y )2

若FR=0,则有

X i 0 Yi 0

(*)

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个 坐标轴上投影的代数和等于零。(*)式称为平面汇交力系的平衡方程

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例 题 2

已知：P,aP aC

2aD

求：A、B处约束反力。解： (1)取刚架为研究对象 (2)画受力图 (3)建立坐标系，列方程求解FAy

A

B

FB

X 0 , P FA cos 0 5 FA P 2

x

1 Y 0 , FB FA sin 0 FB P 2

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例题3

简易压榨机如图所示，已知：推杆上作用力F, A、B、C三处均为光滑铰链，角度 已知。杆重不计。 求：托板给物体M的压力。 解：(1)取销钉B为研究对象B FBA F B

A

F

X 0, F ( FBA FBC ) sin 0 Y 0, FBC cos FBA cos 0解得 FBC FBC

C

M

FBC

F FBA 2 sin

FCBC

(2)取挡板C为研究对象

Y 0, FM FCB cos 0解得

FNC FM

FCB

F FM FCB cos cot 2

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§3.2 平面力偶系的平衡若物体在平面力偶系作用下处于平衡， 则合力偶矩等于零

Mi 0反之，若合力偶矩为零，则该力偶系必然处于平衡。 由此得到平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶 矩的代数和等于零。

Mi 0

称为平面力偶 系的平衡方程

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例 题 4 如图所示刚架，上面作用主动 力偶 M,a已知。自重不计。解：(1)取AB为研究对象a

MB

求：A、 C 处约束反力。

A

C

M 0, M FA 2a 0 FA FB 2 M 2aFAM

a

a

FBB B

(2)取BC为研究对象

2 FC FB FB M 2a

FBA

C

FC

请思考可否将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。 在此种情况下，A、B、C处的约束反力有无变化。

?

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例题5

两个尺寸相同的矩形， 自重不计。求：A,B处的反力。 解：对于整体而言，力偶是平衡 的，即A,B两处的力必为一对平 衡

力，如图。 然后取矩形AC为研究对象 FC,FA之间的距离 力偶平衡的方程式为

FB

B

MCb

MA a FA

a b d 2

FC C

M 0

FA d M 0

MA FA

M 2M FA d a b

即

2M FA FB a b

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§3.3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程1. 平面任意力系的平衡方程FR=0 ′ Mo=0 X 0 Y 0 M F 0 O

}

平衡方程

平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上 的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数 和也等于零。 ● 几点说明：(1)三个方程只能求解三个未知量；

(2)二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；(3)投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直； (4)力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。

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例题6

已知：M=PaP C FAy A a

2a M D FB B

求：A、B处约束反力。解法1: (1) 取刚架为研究对象 (2) 画受力图 (3) 建立坐标系,列方程求解

FAxy

X 0, M A ( F ) 0,

FAx P 0 FAx Px

FB 2a M Pa 0 FB P

Y 0,

FAy FB 0

FAy P

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2a M

Pa

CFAy

DFB

解法2

AFAx

B

解法3

M A ( F ) 0, M B ( F ) 0, M C ( F ) 0,

FB 2a M Pa 0 FAy 2a Pa M 0 FAx a FB 2a M 0

解上述方程，得

FAx P FAy P FB P

解上述方程，得

FAx P , FAy P , FB P

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平面任意力系平衡方程的三种形式基本形式FRA

X 0, Y 0, M二力矩式

(F ) 0A

B x

(x 轴不得垂直于A、B 两点的连线)

是否存在三投影式？三力矩式

M

A

(F ) 0,

M

B

(F ) 0,

M

C

(F ) 0

X 1 0 X2 0 X 3 0

(A、B、C 三点不得共线)

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分布荷载的合力及其作用线位置 Pq(x)

dPAx dx h l

由合力之矩定理：Bx

Ph dP x q( x) xdxl 0

q(x)

荷载集度

合力作用线位置：

dP=q(x)dx 合力大小：

P dP 0 q( x)dxl

q( x) xdx h q( x)dx0 l 0

l

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☆ 两个特例(a) 均布荷载 P

(b) 三角形分布荷载 P q0

q

h l

x

h l

x

q0 q ( x) x l

P q( x)dx ql0

l

q0 1 P q( x)dx xdx q0l 0 0 l 2l l

h q( x)dx0 l 0

l

q ( x) xdx

l 2

q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx 0 l 0

l

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例题7

悬臂梁如图所示，上面作 用均部荷载q和集中荷载F。求固定 端的反力。A

P qB l

解：取AB梁为研究对象

X 0, Y 0,

FAx F sin 0MAA

FAx F sin FAy ql F cos 0

FAy

P

FqB

FAxl

FAy ql F cos l M A ( F ) 0 , M A ql Fl cos 0 2 1 2 M A Pl cos ql 2

F