第三讲 函数与方程思想、数形结合思想

真题试做 ———————————————————

1．(2013·高考浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝43A. B. 3434C D．－

432．

(2013·高考浙江卷)

10

，则tan 2α＝( ) 2

已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(

)

3．(2012·高考浙江卷)设a＞0，b＞0，( )

A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b

4．(2013·高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．

思想诠释 ———————————————————

1．函数与方程思想

2.

典例示范 ———————————————————

类型一 利用函数与方程思想解决方程、 不等式问题

(2013·高考天津卷节选)已知函数f(x)＝x2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间；

(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)．

【思路点拨】 (1)利用导数解不等式，即可得到单调区间． (2)构造函数通过函数的单调性证明方程只有唯一解．

(1)本题第(2)问证明的关键是构造函数h(x)＝f(x)－t，利用第(1)问的结论，

判断函数值的符号，从而问题可以证明．

(2)解决一些不等式恒成立问题，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．

强化训练1 已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有的实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．

类型二 利用函数与方程思想解决数列问题

(2013·浙江省各校新高考研究联盟第一次联考)已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝

9·2n1，n∈N*.

－

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

【思路点拨】 (1)由n＝1，2得出两特殊等式，可求得a1和q，问题即可解决；(2)由(1)

可求出Sn，进而求出k与n的不等关系，构造关于n的函数，利用函数性质求解．

(1)数列一般包含着多个基本量，如首项、公差(公比)、项数、前n项和等．在

知道一些量求其他未知量时，通常用方程的思想考虑．

(2)数列的通项公式、前n项和公式是特殊的函数，对于数列的最值问题往往需要构造函数，利用函数的单调性来解决最值问题，这也是函数思想在数列中的具体应用．

强化训练2 (1)(2013·高考课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )

11

A. B3311C. D．－ 99

1(2)已知函数f(x)＝3，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为( ) A．－1 B．1 22C. D．－ 33

类型三 利用数形结合讨论方程的解

(2013·高考天津卷)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

【思路点拨】 将函数零点视为两个函数图象的交点，分别画出函数图象，利用数形结

x

合求解．

用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方

程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．

2 x＋bx＋c，x≤0，

强化训练3 设函数f(x)＝ 若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方

2， x>0.

程y＝x的解的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

类型四 运用数形结合思想求解参数的范围 及最值问题

(1)(2013·高考重庆卷)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的

动点，则|PQ|的最小值为( )

A．6 B．4 C．3 D．2

2

x＋4x，x≥0

(2)(2013·梅州模拟)已知函数f(x)＝ ，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围2

4x－x，x<0

是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)

C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

【思路点拨】 (1)求|PQ|的最小值，转化为求圆心到直线的距离． (2)作函数f(x)的图象，结合图象进行求解．

(1)数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图

形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化为代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论．

(2)在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会被快速解决．

强化训练4 设x0是函数f(x)＝a|x|－logb|x|的一个零点，其中0<a<1，b>1，则有( ) A．x0∈(－1，1) B．x0∈(0，b)

C．x0∈(－b，－1)∪(1，b) D．x0∈(－b，－1)∪(0，1)

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