武汉科技大学概率论期末考试09-10-2试题及答案

发布时间：2024-11-12

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概率论与数理统计A卷共11页第1页

20092009－

－2010学年第2学期概率论与数理统计A卷

考试方式：闭卷

考试时间：考试时间：2010.6.11

2010.6.11题

三

四

五

总分号一

二

总分人得分

复核人

签名得分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

1、盒子中有10个外形相同的木球，其中4个红球，6个白球，甲、乙、丙三人依次从中抽取一个球（不放回），则丙取得红球的概率为（A）7/10；（B）3/5；（C）2/5；（D）1/10.

答：（）2、随机事件A、B相互独立，且P(A)=2,P(B)=3，则P(A|B)等于（A）0；

（B）1/6；

（C）1/3；

（D）1/2.答：（）

x< 23、离散型随机变量X的分布函数为F(x)=

0.4, 2≤x< 11≤x<1，则概率

0.7, 1,

x≥1P(X= 1)等于

（A）0.7；

（B）0.4；

（C）0.3；

（D）0.

答:（）

4、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%.用X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数,由中心极限定理，X的近似分布为（A）N(0,1)；（B）N(20,16)；（C）N(20,0.16)；

（D）N(0.2,0.16).

答:（）

5、随机变量Xi,i=1,2,3,4相互独立，且都服从N(0,1)分布，若随机变量

a(X1+X2)2+b(2X3+X4)2~χ2(2)，则常数a,b的值分别为11（A）,；

得分

（B）2,5；

11（C）,；

（D）2,3.答:（

）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

6、已知离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=A(k 1,k=1,2,...，则常数

A=7、向区间(0,1)内随机投掷4个点，则至少有一个点落在区间(0.2,0.7)内的概率为

8、已知随机变量X服从参数为1的泊松分布，随机变量Y服从区间(0,2)上的均匀分布，且X、Y相互独立，则D(X Y)=

9、抛一枚硬币20次，X表示正面出现的次数，Y表示反面出现的次数，则

|ρXY|=

10、某种保险丝熔化的时间（单位：秒）X~N(µ,σ2)，现随机抽取X的一个容量为16的简单样本，测得样本均值x=15，样本方差s2=0.64，则µ的置信度为0.95的置信区间为

.（已知t0.025(16)=2.1199，

t0.025(15)=2.1315，t0.05(15)=1.7531）

三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

11、某城市发生一起凶杀案，公安人员根据案情分析，得出凶手还在该城市的

得分概率为0.4，已逃往外地的概率为0.5，自首归案的概率为0.1,而且，若凶手还

在该城市，被抓到的概率为0.9，若凶手逃往外地，被抓到的概率为0.5，求该凶手归案的概率。

得分

12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为

Acosx, π2<x<π2

，f(x)=

0,其它

（1）求常数A；（2）求概率P(0<X<π4).

得分

A+Be 3x,x>0

13、已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)= ，

0,x≤0 （1）求常数A,B；（2）求概率P( 1≤X<2)；（3）求X的概率密度函数f(x).

得分

14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)= 4y,0<y<1,0<x<y2

，

0,其它 P(X+Y>1)；

(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数,并判断X,Y是否独立。

密

封

（1）求概率（2）分别求出

15、已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

XY-10

-10.20.1

00.10.2

100.1

0.20.1

（1）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律；（2）求Cov(X,Y).

得分

学院：

得分

16、总体X~N(3.4,42)，X1,X2, ,Xn为来自总体X的一个容量为n的

简单样本，（1）求样本均值X=∑Xi的分布；（2）若样本均值X

ni=1

位

于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少。（已

专业：

知Φ(1.96)=0.9750）

得分

四、解答题（本大题共1个小题，5分）。

17、已知总体X的概率密度函数f(x;θ)=e θ|x|,x∈R，其中θ>0是

2未知参数，X1,X2, ,Xn是来自总体X的一个简单样本,求θ的最大似然估计量θ.

∧

得分

五、解答题（本大题共1个小题，5分）。

18、已知 ABC的顶点C到对边AB的距离为h，今在三角形内部随机取一点M，记M到边AB的距离为X，求X的概率密度函数f(x).

－2010学年第2学期20092009－

概率论与数理统计A卷评分标准

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

答：（C）2、随机事件A、B相互独立，且P(A)=2,P(B)=3，则P(A|B)等于（A）0；

（B）1/6；

（C）1/3；

（D）1/2.

答：（D）

x< 2 0,

0.4, 2≤x< 1

3、离散型随机变量X的分布函数为F(x)= ，则概率P(X= 1)等于

0.7, 1≤x<1 x≥1 1,

（A）0.7；（B）0.4；（C）0.3；（D）0.

答:（C）

4、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%.用X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数,由中心极限定理，X的近似分布为（A）N(0,1)；

（B）N(20,16)；

（C）N(20,0.16)；

（D）N(0.2,0.16).

答:（B）

5、随机变量Xi,i=1,2,3,4相互独立，且都服从N(0,1)分布，若随机变量

a(X1+X2)2+b(2X3+X4)2~χ2(2)，则常数a,b的值分别为11（A）,；

（B）2,5；

11（C）,；

（D）2,3.

答:（A）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

6、已知离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=A(k 1,k=1,2,...，则常数A27、向区间(0,1)内随机投掷4个点，则至少有一个点落在区间(0.2,0.7)内的概率为

8、已知随机变量X服从参数为1的泊松分布，随机变量Y服从区间(0,2)上的均匀分布，且X、Y相互独立，则D(X Y)=3.

9、抛一枚硬币20次，X表示正面出现的次数，Y表示反面出现的次数，则ρXY=.10、某种保险丝熔化的时间（单位：秒）X~N(µ,σ2)，现随机抽取X的一个容量为

16的简单样本，测得样本均值x=15，样本方差s2=0.64，则µ的置信度为0.95的置信区间为(14.5737,15.4263).（已知t0.025(16)=2.1199，t0.025(15)=2.1315，

t0.05(15)=1.7531）

三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

11、某城市发生一起凶杀案，公安人员根据案情分析，得出凶手还在该城市的概率为

0.4，已逃往外地的概率为0.5，自首归案的概率为0.1,而且，若凶手还在该城市，被抓到的概率为0.9，若凶手逃往外地，被抓到的概率为0.5，求该凶手归案的概率。解：设B表示凶手归案，A1表示凶手还在本市；A2表示凶手逃往外地；A3表示凶手

自首，则所求概率为

P(B)=∑P(B|Ai)P(Ai)......................................................(5')

i=1

=0.9×0.4+0.5×0.5+0.1×1.........................................(9')=0.71............................................................................(10')

12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为

Acosx, π2<x<π2

，f(x)=

0,其它（1）求常数A；（2）求概率P(0<X<π4).解：（1）由密度函数的性质

∫

+∞

∞

f(x)dx=1.............................................................................(2')

π0

即2∫

Acosxdx=2Asinx0=1................................................(4')

π故A=2......................................................................................(5')（2）由题意

P(0<X<π4)=∫=

π0

cosxdx....................................................(8')2

......................................................(10') A+Be 3x,x>0

13、已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)= ，

0,x≤0

（1）求常数A,B；（2）求概率P( 1≤X<2)；（3）求X的概率密度函数f(x).解：（1）由分布函数的性质

F(0 )=F(0+) A+B=0..........................................................(1')

F(+∞)=1 A=1.......................................................................(2')因此可得A=1,B= 1.................................................................(3')（2）由分布函数的性质

P( 1≤X<2)=F(2) F( 1)=1 e 6.........................................(6')（3）由密度函数的定义

x>0dF(x) 3e 3x，f(x)== .............................................(10')

dx 0,其它

14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

4y,0<y<1,0<x<y2

f(x,y)= ，

其它 0,

（1）求概率P(X+Y>1)；

（2）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数,并判断X,Y是否独立。

0<x<1

............(7')其它

（2）由题意

1 ydy,0<x<1 2 2x,

fX(x)= =

其它 0, 0,

y4ydx,0<y<1 4y3,

fY(y)= ∫0=

其它 0, 0,

0<y<1

.................(9')其它

因为f(x,y)≠fX(x)fY(y)，故X,Y不独立.................................(10')15、已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

XY-10

-10.20.1

00.10.2

100.1

20.20.1

（1）求分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律；（2）求Cov(X,Y).12 10

解：（1）(X,Y)关于X的边缘密度函数为 ........(3')0.30.30.10.3

(X,Y)关于Y的边缘密度函数为 .........................(5')

0.50.5 1 2 10

（2）由题意Z=XY的分布律为 ..................(7')0.200.60.2

故Cov(X,Y)=E(XY) EXEY= 0.2 ( 0.5×0.4)=0...........(10')

16、总体X～N(3.4,42)，X1,X2, ,Xn为来自总体的一个容量为n的简单样本，

（1）求样本均值X=∑Xi的分布；（2）若样本均值X位于区间(1.4,5.4)内的概

ni=1

率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少。（已知Φ(1.96)=0.9750）42解：（1）由题意EX=3.4,DX=....................................................(2')

1n42

故X=∑Xi～N(3.4,....................(5')

ni=1n

（2）由P(1.4<X<5.4)≥0.95，可得

概率论与数理统计A卷

共11页第11页

P(1.4<X<5.4)=P<<__

=2Φ 1≥0.95.......................................................................(8') Φ≥0.975=Φ(1.96),≥1.96，故n≥15.3664,故至少取n=16................................................................................(10')四、解答题（本大题共1个小题，5分）。17、已知总体X的概率密度函数f(x;θ)=

θ θ|x|

e,x∈R，其中θ>0是未知参数，2

∧

X1,X2, ,Xn是来自总体X的一个简单样本,求θ的最大似然估计量θ.θ

解：似然函数为L(θ)=∏e θ|xi|...........................................................(2')

2i=1

对数似然函数ln[L(θ)]=nlnθ nln2 θ∑|xi|.............................(3')

i=1n

dln[L(θ)]nn

令 =0 ∑|xi|=0..................................................(4')

dθθi=1θ的最大似然估计量θ=n

∑|X